Aiuto teoria dei giochi

[anto84gr]

Buonasera a tutti,
Vi pongo un quesito a cui non so dare risposta.
Io ho una equazione differenziale che mi descrive un gioco:
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$.
Trovo gli stati stazionari che sono $y_1=0$, $y_1=1$ e $y_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$.
Come faccio adesso a studiare la dinamica di questa equazione? Cosa devo fare? Grazie a chi mi aiuterà.

[dissonance]

Ti manca una equazione.

[anto84gr]

Si scusa, ma è nulla.
$\dot{y_2}=0$

Mi è stato detto che devo verificare quando $y_2$ è maggiore o minore di $\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$. Ma non capisco come devo fare

[gugo82]

Beh, se $dot(y_2) = 0$ ed $y_2(0) = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, allora $y_2(t) = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$ per ogni $t>=0$... Dunque hai davvero poco da verificare.

Inoltre, le condizioni che riporti mi paiono sovrabbondanti per il problema che hai sotto mano; in altri termini, un sostiene di EDO del primo ordine con tre condizioni di solito non ha soluzioni, a meno che i dati non siano “compatibili”.

*** Edit: scusa, ho totalmente frainteso i tuoi post precedenti.
L’idea è quella di studiarsi il sistema:
\[
\begin{cases}
\dot{y_1}(t) = y_1(t)\ (1-y_1(t))\ (y_2(t) (\sigma_1 + \sigma_2) - \sigma_2)\\
\dot{y_2}(t) = 0\\
y_1(0) = \eta_1\\
y_2(0)=\eta_2
\end{cases}
\]
coi parametri $eta_1, eta_2 in RR$. Questo si fa né più né meno che come lo studio qualitativo delle singole EDO che si vede in esami di Analisi.
Dalla seconda equazione ricavi immediatamente che $y_2(t)=eta_2$ per ogni $t>=0$, dunque ti serve capire cosa succede alla soluzione della prima EDO al variare di $eta_2$.
Chiaramente, se $eta_2 = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, allora anche $y_1(t)$ è una funzione costante ed è determinata dal valore assunto in $0$.
Se $eta_2> sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$ allora la prima EDO è del tipo $dot(y_1) = C\ y_1(1-y_1)$ con $C>0$, quindi è molto semplice da studiare, e lo stesso accade nel caso $eta_2 < sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, poiché la EDO è essenzialmente dello stesso tipo ma con $C<0$.

[dissonance]

@Gugo: secondo me quelle del primo post non sono condizioni iniziali, sono le soluzioni costanti.

@anto: devi studiare la equazione differenziale \(y'=Cy(1-y),\) dove \(C\in\mathbb R\) è una costante. Sicuramente, a seconda del segno di \(C\) succederanno cose diverse. Quando hai finito, poni \(C= y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2\).

[gugo82]

@dissonance: Sì, me ne sono accorto dopo... Ed ho editato il post.

[anto84gr]

Allora riporto il problema intero magari ho saltato qualcosa. Io ho una matrice di adiacenza che mi descrive il gioco a 3 giocatori su grafo.
\[ A=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & \mu \\
\mu & 0 & 2\mu \\
0 & \mu & 0
\end{bmatrix}
\]
dove $\mu \geq 0$.
Ora per $\mu>0$ l’ho verificato, devo vedere cosa succede per $\mu=0$, quindi la mia matrice diventa
\[ A=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\].
Ottengo come Replicator equation le seguenti
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$
$\dot{y_2}=0$
$\dot{y_3}=0$
Trovo gli stati stazionari e poi devo studiare la dinamica

[anto84gr]

In pratica il giocatore 2 interagisce con il primo, mentre il terzo con nessuno.

[gugo82]

L’idea è quella di studiarsi il sistema:
\[ \begin{cases} \dot{y_1}(t) = y_1(t)\ (1-y_1(t))\ (y_2(t) (\sigma_1 + \sigma_2) - \sigma_2)\\ \dot{y_2}(t) = 0\\ y_1(0) = \eta_1\\ y_2(0)=\eta_2 \end{cases} \]
coi parametri $ eta_1, eta_2 in RR $. Questo si fa né più né meno che come lo studio qualitativo delle singole EDO che si vede in esami di Analisi.
Dalla seconda equazione ricavi immediatamente che $ y_2(t)=eta_2 $ per ogni $ t>=0 $, dunque ti serve capire cosa succede alla soluzione della prima EDO al variare di $ eta_2 $.
Chiaramente, se $ eta_2 = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2) $, allora anche $ y_1(t) $ è una funzione costante ed è determinata dal valore assunto in $ 0 $.
Se $ eta_2> sigma_2/(sigma_1 + sigma_2) $ allora la prima EDO è del tipo $ dot(y_1) = C\ y_1(1-y_1) $ con $ C>0 $, quindi è molto semplice da studiare, e lo stesso accade nel caso $ eta_2 < sigma_2/(sigma_1 + sigma_2) $, poiché la EDO è essenzialmente dello stesso tipo ma con $ C<0 $.

La traccia è questa... Sviluppala, cioè fai i conti.

[anto84gr]

Buongiorno a tutti,
Ho provato a risolvere la edo e mi viene così

$y(t)=\frac{e^(ct+d)}{1+e^(ct+d)}$

nel caso in cui $c>0$. Torna?