Anche questi due esercizi sono presi dall'ammissione al dottorato in Sissa. Il primo l'ho risolto e trovato carino e volevo proporlo ai (pochi) frequentatori della sezione. Del secondo invece non riesco a venire a capo del punto 2.
Esercizio 1
Sia \( \{T_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di operatori non nulli, auto aggiunti, ovunque definiti su uno spazio di Hilbert \( H \) tali per cui per ogni \( n \in \mathbb{N} \):
\[ T^2_n = \biggl ( 1+\frac{1}{n} \biggr ) T_n \quad \quad \quad Im(T_n) \subset Im(T_{n+1}) \quad \quad \quad \bigcup_{n} Im(T_n) = H \]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è limitato e inoltre \( \|T_n \| = 1+1/n \).
2. Dimostrare che per ogni \( x \in H \) si ha che \( T_n x \to x \) quando \( n \to \infty \).
Esercizio 2
Sia $T$ un operatore compatto e autoaggiunto su uno spazio di Hilbert $H$ e sia $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ un polinomio avente zeri solo reali tale che
\[ p(T) = 0 \]
1. Dimostrare che se $H$ ha dimensione infinita allora $0$ è un autovalore di $T$.
2. Assumendo che $p(s)>0$ per ogni $s<0$, dimostrare che vale \( \langle Tx, x \rangle \ge 0 \) per ogni $x \in H$.