Per il 2.1
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Sotto le ipotesi date esiste una base ortonormale \( \{v_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) di $H$ fatta da autovettori di $T$. Sia \( \{ \lambda_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) la corrispondente successione di autovalori (ogni autovalore appare nella successione tante volte quanto è la sua molteplicità geometrica).
Poiché per ogni reale $\alpha$ e intero non negativo $n$ si ha che
\[ \alpha T^n v_k = \alpha T^{n-1} (Tv_k) = \alpha T^{n-1}(\lambda_k v_k ) = \dots = \alpha \lambda^n_k v_k \]
allora vale che
\[ 0= p(T) v_k = p(\lambda_k) v_k \quad \quad \forall k \in \mathbb{N} \]
Se $0$ non fosse un autovalore allora la successione dei $\lambda_k$ è composta da un numero infinito di valori distinti (la molteplicità di ogni autovalore non nullo è finita) e dunque $p$ avrebbe un numero infinito di zeri. Assurdo.
Quindi $0$ è un autovalore e abbiamo anche una (utile?) informazione: $\text{dim}(\text{ker}(T)) = \infty$
Poiché per ogni reale $\alpha$ e intero non negativo $n$ si ha che
\[ \alpha T^n v_k = \alpha T^{n-1} (Tv_k) = \alpha T^{n-1}(\lambda_k v_k ) = \dots = \alpha \lambda^n_k v_k \]
allora vale che
\[ 0= p(T) v_k = p(\lambda_k) v_k \quad \quad \forall k \in \mathbb{N} \]
Se $0$ non fosse un autovalore allora la successione dei $\lambda_k$ è composta da un numero infinito di valori distinti (la molteplicità di ogni autovalore non nullo è finita) e dunque $p$ avrebbe un numero infinito di zeri. Assurdo.
Quindi $0$ è un autovalore e abbiamo anche una (utile?) informazione: $\text{dim}(\text{ker}(T)) = \infty$