Ottenere serie convergenti da serie convergenti

[Delirium]

Esercizio. Sia \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) una successione di numeri positivi tale che \( \sum a_n < \infty\). Mostrare che esiste una successione di numeri positivi \( \{c_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) con \( \lim_n c_n = \infty\) tale che \[ \sum a_n c_n < \infty. \]
Magari è pure banale, ma sarei curioso di vedere una costruzione dei \( c_n \) in termini degli \( a_n \) (a me non ne è venuta in mente nessuna). Io credo di avere un soluzione (un po' artificiosa).

[dissonance]

Bello. Questo mi ricorda un commento sul "Baby Rudin":

One might thus be led to the conjecture that
there is a limiting situation of some sort, a "boundary" with all convergent
series on one side, all divergent series on the other side, at least as far as series
with monotonic coefficients are concerned. This notion of "boundary" is of
course quite vague. The point we wish to make is this: No matter how we make
this notion precise, the conjecture is false.

L'esercizio di questo post va nella direzione di questo commento. (L'esercizio 12(b) del Rudin è strettamente connesso a quello di questo post).

[Delirium]

Effettivamente è un fatto interessante, uno può induttivamente moltiplicare per successioni divergenti ma ottenere ancora serie convergenti

[Rigel]

Come segnalato da dissonance, va già bene la costruzione proposta nell'esercizio 12b del baby Rudin, no?

[Delirium]

@Rigel: non ho guardato il Rudin. Avevo pensato a questa costruzione: posto \( \sum a_n = l \), sia \( N_1 \) il più piccolo naturale tale che \( \sum_{n=1}^{N_1} a_n \ge 2l/3\). Siano poi \( N_2\) il più grande naturale tale che \( \sum_{n=N_1 + 1}^{N_2} a_n \le l/4\), \( N_3\) il più grande naturale tale che \( \sum_{n=N_2 + 1}^{N_3} a_n \le l/4^2\) e in generale \( N_k\) il più grande naturale tale che \( \sum_{n=N_{k-1} + 1}^{N_k} a_n \le l/4^{k-1}\). Definendo \[ c_k = \begin{cases} 1 & \text{se } 1 \le n \le N_1 \\ \vdots \\ 2^{k-1} & \text{se } N_{k-1}+1 \le n \le N_k \end{cases} \]si ottiene che \[ \begin{split} \sum_{n=1}^\infty c_n a_n & = \sum_{n=1}^{N_1} a_n + \sum_{n=N_1+1}^{N_2}2 a_n + \dots + \sum_{n=N_{k-1}+1}^{N_k} 2^{k-1} a_n + \dots \\ & \le l + \frac{l}{2} + \dots + \frac{l}{2^{k-1}} + \dots < \infty \end{split} \]e inoltre per costruzione \( \lim_n c_n = \infty\).

Funziona?

[Rigel]

@Rigel: non ho guardato il Rudin. Avevo pensato a questa costruzione: posto \( \sum a_n = l \), sia \( N_1 \) il più piccolo naturale tale che \( \sum_{n=1}^{N_1} a_n \ge 2l/3\). Siano poi \( N_2\) il più grande naturale tale che \( \sum_{n=N_1 + 1}^{N_2} a_n \le l/4\), \( N_3\) il più grande naturale tale che \( \sum_{n=N_2 + 1}^{N_3} a_n \le l/4^2\) e in generale \( N_k\) il più grande naturale tale che \( \sum_{n=N_{k-1} + 1}^{N_k} a_n \le l/4^{k-1}\). Definendo \[ c_k = \begin{cases} 1 & \text{se } 1 \le n \le N_1 \\ \vdots \\ 2^{k-1} & \text{se } N_{k-1}+1 \le n \le N_k \end{cases} \]si ottiene che \[ \begin{split} \sum_{n=1}^\infty c_n a_n & = \sum_{n=1}^{N_1} a_n + \sum_{n=N_1+1}^{N_2}2 a_n + \dots + \sum_{n=N_{k-1}+1}^{N_k} 2^{k-1} a_n + \dots \\ & \le l + \frac{l}{2} + \dots + \frac{l}{2^{k-1}} + \dots < \infty \end{split} \]e inoltre per costruzione \( \lim_n c_n = \infty\).

Funziona?

Non ho controllato le costanti, ma direi che la costruzione funziona.
Quella proposta dal Rudin si basa sull'uso del resto n-esimo \(r_n\) della serie di partenza, facendo vedere che \(\sum \frac{a_n}{\sqrt{r_n}}\) è convergente.

[dan95]

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Per risolvere il problema si può dimostrare che esiste un numero reale positivo $0<\alpha<1$ tale che $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^{\alpha}< +\infty$

[Rigel]

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Per risolvere il problema si può dimostrare che esiste un numero reale positivo $0<\alpha<1$ tale che $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^{\alpha}< +\infty$

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In generale quanto affermato non è vero.
Ad esempio, se consideri la serie convergente di termine generale \(a_n = \frac{1}{n \log^2 n}\), hai che
\(\sum a_n^\alpha\) diverge a \(+\infty\) per ogni \(\alpha < 1\).

[Erasmus_First]

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Mi pare che la data successione ${a_n}$ convergente debba essere pure infinitesima, se no moltiplicandola termine a termine per una successione ${b_n}$ divergente si ottiene comunque una successione ${a_n·b_n}$ divergente.
Supposto dunque che la data successione ${a_n}$ sia non solo convergente ma anche infinitesima, Io la moltiplicherei termine a termine per la successione armonica
1, 1+1/2, 1+1/2 + 1/3, 1+1/2 + 1/3 + 1/4, ......
ossia $H_n$ = <somma dei rciproci degli interi da 1 a n>
che mi pare è la successione che diverge il più lentamente possibile
(o, equivalentemente, per ln(n) che ha lo stesso carattere di Hn).

––––

[Delirium]

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Mi pare che la data successione ${a_n}$ convergente debba essere pure infinitesima, se no moltiplicandola termine a termine per una successione ${b_n}$ divergente si ottiene comunque una successione ${a_n·b_n}$ divergente.
Supposto dunque che la data successione ${a_n}$ sia non solo convergente ma anche infinitesima, Io la moltiplicherei termine a termine per la successione armonica
1, 1+1/2, 1+1/2 + 1/3, 1+1/2 + 1/3 + 1/4, ......
ossia $H_n$ = <somma dei rciproci degli interi da 1 a n>
che mi pare è la successione che diverge il più lentamente possibile
(o, equivalentemente, per ln(n) che ha lo stesso carattere di Hn).

Non funziona. "la successione che diverge più lentamente" è un concetto di cui l'esercizio proposto vuole sottolineare l'erroneità. Concretamente, la serie di carattere \( 1 / (n \log^{3/2} (n))\) è convergente, ma \[ \frac{H_n}{n \log^{3/2} (n)} \sim_{+ \infty} \frac{\log(n)}{n \log^{3/2} (n)} \sim_{+ \infty} \frac{1}{n \log^{1/2} (n)}; \] pertanto \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n \log^{3/2} (n)} \] diverge per il criterio del confronto asintotico.