Un sottoinsieme denso di \( \ell^\infty\)

[Delirium]

Problema. Per \( M \subseteq \mathbb{N}\) denotiamo con \( \chi_M \in \ell^\infty\) la "successione caratteristica" di \( M\), i.e. \[\chi_M (k) = \begin{cases} 1 & \text{se } k \in M \\ 0 & \text{se } k \notin M. \end{cases} \]Mostrare che \[ \overline{\text{Span} \{ \chi_M \, : \, M \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) \} } = \ell^\infty (\mathbb{N}). \]

[Bremen000]

Ciao Delirium, bell'esercizio!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano \( x \in \ell^{\infty}(\mathbb{N}) \) e \( 0<\epsilon <1 \) fissati. Per definizione, esiste finito \( \sup_{k \in \mathbb{N}} |x(k)| =: N < \infty \). Dunque certamente si ha \(-N-1 < x(k) < N+1 \) per ogni \( k \in \mathbb{N} \).

Siano ora \( L_j = [ y_j, y_j+\epsilon) \subset [-N-1, N+1) \) con \( y_j = -N-1 + j \epsilon \) per ogni \( j=0, \dots, \lceil (2N+1)/\epsilon \rceil \). Insomma gli $L_j$ sono disgiunti a coppie e la loro unione contiene l'intervallo \( [-N-1, N] \).
Siano \( M_j = \{ k \in \mathbb{N} \, | \, x(k) \in L_j \} \) per ogni \( j=0, \dots, \lceil (2N+1)/\epsilon \rceil \).

Sia ora \( y \in \ell^{\infty}(\mathbb{N}) \) definita come

\[ y= \sum_{j=0}^{\lceil (2N+1)/\epsilon \rceil} \chi_{M_j} (y_j + \epsilon/2) \]

Allora \( y \in \text{Span} \{ \chi_M \, : \, M \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) \} \) e \( \|x-y \|_{\infty} < \epsilon \).

[Delirium]

È corretto. All'inizio mi ero inventato una bellissima costruzione diversa, ma poi mi sono reso conto che era sbagliata

Rilancio (classico). \(\ell^\infty\) non è separabile.

[Bremen000]

Io ho pensato per (troppo) tempo che gli $M$ dovessero essere contenuti ognuno in qualche intervallo del tipo $[0,k]$ e continuavo a pensare al controllo all'infinito. Poi mi sono reso conto che non era \( \ell^p \)

Il rilancio lo lascio a chi non l'ha mai visto! Oltretutto la tecnica che ho usato è praticamente la stessa che si usa per far vedere che le funzioni semplici approssimano le funzioni misurabili, solo che qua è fatto in modo uniforme, almeno credo!

[Delirium]

Rilancio (classico). \(\ell^\infty\) non è separabile.

Hint in spoiler (che peraltro conduce ad un \(\epsilon\) dalla soluzione):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Considerare le successioni composte solo da \(0\) e \(1\).

Altro rilancio (classico?). Sia \[ c_0 = \{ \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \, : \, \lim_n x_n = 0 \}. \] Mostrare che \(c_0\) è la chiusura di \( \ell^p\) in \( \ell^\infty\) per ogni \( p \in [1,+\infty)\).

[Bremen000]

Questo non so se l'avevo mai fatto, ma penso si faccia così:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano \( \epsilon >0 \), $x \in c_0$ e \( p \in [1, +\infty) \) fissati.

Poiché \( \lim_n x_n=0 \) allora esiste un $N_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che \( |x_n| <\epsilon \) per tuti gli \( n >N_{\epsilon} \). Sia \( y \in \ell^p \) così definito:

\[ y_n = \begin{cases} x_n \quad & n \le N_{\epsilon} \\ 0 \quad &n >N_{\epsilon} \end{cases} \]

Allora \( \| x-y \|_{\infty} < \epsilon \).

Menomale che ci sei tu Delirium a tenere vivi i ricordi di analisi reale / funzionale!

Sempre di questo tipo mi ricordo la dimostrazione del fatto che \( (C([0,1]), \| \cdot \|_{\infty} ) \) non è riflessivo!

[Delirium]

@Bremen: mi sa che non è sufficiente. Hai mostrato che \( c_0 \subseteq \overline{\ell^p}\); per concludere dovresti mostrare l'inclusione opposta. In realtà, basta mostrare che \( c_0\) è chiuso.

[...] Menomale che ci sei tu Delirium a tenere vivi i ricordi di analisi reale / funzionale! [...]

Ne ho a pacchi, li faccio per non perdere il vizio (e per farmi prendere a calci in culo dal mio supervisor)!

[Bremen000]

Hai ragione!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per far vedere che è chiuso considero una successione \( \{x^{(k)} \}_{k \in \mathbb{N}} \subset c_0 \) e un \( x \in \ell^{\infty} \) tali che \( x^{(k)} \to x \) in \( \ell^{\infty} \) quando \( k \to \infty \). Questo significa che

\[ \lim_k \sup_n |x_n - x^{(k)}_n | = \lim_k s_k =0 \]

Ma quindi è vero per ogni \( n, k \in \mathbb{N} \) che:

\[ |x_n| = |x_n - x^{(k)}_n | + |x^{(k)}_n| < \sup_n |x_n - x^{(k)}_n | + |x^{(k)}_n| = s_k + |x^{(k)}_n| \]

Passando al limite su $n$:

\[ \lim_n |x_n| = s_k + 0 \]

Passando al limite su $k$:

\[ \lim_n |x_n| = 0 \]

Dunque \( x \in c_0 \).

Ma non sono sicurissimo, questo tipo di argomento mi manda sempre un po' nel pallone.