Ciao! Parlando del problema 2 dell'esame di maturità (sessione ordinaria), il punto 4 è il seguente.
Parlo della parte sottolineata in rosso.
Ricordo velocemente l'argomento: se un punto $t$ verifica la condizione detta allora la retta normale al grafico \( \displaystyle Y-f(t) = -\frac{1}{f'(t)} (X-t) \) passa per l'origine, quindi $f(t)f'(t)+t=0$ e, siccome $f'(t)$ ha grado $n-1$, questa equazione ha al massimo $2n-1$ soluzioni.
La mia domanda è: è vero che per ogni $n$ esiste un polinomio $f(x)$ il cui grafico ammette esattamente $2n-1$ normali passanti per l'origine? Riformulando, è vero che per ogni $n$ esiste un polinomio $f(x)$ di grado $n$ tale che il polinomio $f(x)f'(x)+x$ ha esattamente $2n-1$ radici distinte, tutte reali?
In altre parole, è vero che la stima $2n-1$ è "quella giusta"? (Vorrei dire "sharp", ma non trovo una traduzione adeguata).
Sto pensandoci e perfino i casi di grado basso non mi sembrano evidenti.
Un'altra domanda (che forse è facile): quali sono le curve regolari $(x(t),y(t))$ del piano tali che tutte le normali passano per l'origine?