Normali passanti per O - Maturità 2018

[Martino]

Ciao! Parlando del problema 2 dell'esame di maturità (sessione ordinaria), il punto 4 è il seguente.



Parlo della parte sottolineata in rosso.

Ricordo velocemente l'argomento: se un punto $t$ verifica la condizione detta allora la retta normale al grafico \( \displaystyle Y-f(t) = -\frac{1}{f'(t)} (X-t) \) passa per l'origine, quindi $f(t)f'(t)+t=0$ e, siccome $f'(t)$ ha grado $n-1$, questa equazione ha al massimo $2n-1$ soluzioni.

La mia domanda è: è vero che per ogni $n$ esiste un polinomio $f(x)$ il cui grafico ammette esattamente $2n-1$ normali passanti per l'origine? Riformulando, è vero che per ogni $n$ esiste un polinomio $f(x)$ di grado $n$ tale che il polinomio $f(x)f'(x)+x$ ha esattamente $2n-1$ radici distinte, tutte reali?

In altre parole, è vero che la stima $2n-1$ è "quella giusta"? (Vorrei dire "sharp", ma non trovo una traduzione adeguata).

Sto pensandoci e perfino i casi di grado basso non mi sembrano evidenti.

Un'altra domanda (che forse è facile): quali sono le curve regolari $(x(t),y(t))$ del piano tali che tutte le normali passano per l'origine?

[dissonance]

Un'altra domanda (che forse è facile): quali sono le curve regolari $(x(t),y(t))$ del piano tali che tutte le normali passano per l'origine?

La normale al punto \(x(t), y(t)\) passa per l'origine se e solo se esiste \(\tau(t)\) tale che
\[
\begin{cases}
x(t)=\tau(t)\dot{y}(t), \\
y(t)=-\tau(t)\dot{x}(t),
\end{cases}\]
che è un oscillatore armonico non autonomo. (Se \(\tau\) è costante troviamo le circonferenze). Con \(\tau(t)=t^2\), imponendo la condizione iniziale \(x(0)=1, y(0)=0\) si trova \(x(t) = -\sin((1/3)t^3), y(t) = \cos((1/3)t^3)\). Si possono costruire parecchie soluzioni esplicite scegliendo \(\tau\).

Tuttavia, ho la sensazione che tutte queste curve non sono altro che riparametrizzazioni della circonferenza.

EDIT: Le uniche curve le cui normali passano tutte per l'origine sono le circonferenze, a meno di riparametrizzazione. Infatti il sistema di equazioni differenziali che ho scritto sopra si trasforma in
\[
\begin{cases}
\frac{d x}{dt'} = -y, \\ \frac{d y}{dt'} = x, \end{cases}\]
che è l'equazione della circonferenza di centro l'origine, mediante il cambio di variabile
\[
t'=\int_0^t \frac{1}{\tau(t'')}\, dt''.\]

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Il problema principale invece mi pare difficilotto.

[Martino]

Sì concordo, io l'avevo fatto così: $(x,y)$ ortogonale a $(x',y')$ significa che $x*x'+y*y'=0$ che si può scrivere come $2x*x'+2y*y'=0$ e integrando $x^2+y^2=R^2$

Sul problema principale non ho fatto molti progressi. $ff'+x$ è la derivata di $(f^2+x^2)/2$, quindi detto $P$ un polinomio con esattamente $2n-1$ radici, tutte distinte, tutte reali, e detta $F$ una sua primitiva, vogliamo che $2F-x^2$ sia un polinomio del tipo $f^2$.

[dissonance]

Sì concordo, io l'avevo fatto così: $(x,y)$ ortogonale a $(x',y')$ significa che $x*x'+y*y'=0$ che si può scrivere come $2x*x'+2y*y'=0$ e integrando $x^2+y^2=R^2$

Bello! Era facile.

Sul problema principale non ho fatto molti progressi. $ff'+x$ è la derivata di $(f^2+x^2)/2$, quindi detto $P$ un polinomio con esattamente $2n-1$ radici, tutte distinte, tutte reali, e detta $F$ una sua primitiva, vogliamo che $2F-x^2$ sia un polinomio del tipo $f^2$.

Mmmmhh. Ma esiste una versione generale del "discriminante" $b^2-4ac$? Generale significa che si applica a polinomi di grado superiore al secondo. Idealmente ci vorrebbe una funzione dei coefficienti del polinomio che verifica qualche proprietà quando il polinomio ha tutte le radici in \(\mathbb R\). EDIT: Ho visto che effettivamente qualcosa del genere esiste: https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant#Degree_3

Ma è piuttosto complicato. (Non credo che penserò molto a questo problema, è troppo difficile per me)


P.S.: Un problema minore, probabilmente più facile, è stabilire se la proprietà di un polinomio di ammettere il massimo di normali passanti per l'origine sia stabile per piccole perturbazioni dei suoi coefficienti. Precisamente: è vero che l'insieme
\[
\{P\in \mathbb R[x]_n\ : P(x)P'(x)+x\ \text{ha esattamente }2n-1\text{ radici reali}\} \subset \mathbb R[x]_{\le n}
\]
è aperto? (non abbiamo dimostrato che non è vuoto). Qui \(\mathbb R_{\le n}[x]\) denota polinomi di grado al più \(n\) e \(\mathbb R[x]_{n}\) denota polinomi di grado esattamente uguale a \(n\). La topologia, naturalmente, è quella euclidea su \(\mathbb R[x]_{\le n}\) visto come sottoinsieme di \(\mathbb R^{n+1}\) mediante l'identificazione
\[
a_0+a_1 x + \ldots +a_n x^n \mapsto (a_0, a_1, \ldots, a_n).
\]

[gugo82]

Da un po’ di giorni volevo tornare sulla questione della circonferenza, ma vedo che Martino l’ha risolta come avevo pensato io.

Per quanto riguardi il problema sul numero di radici, a me già riesce difficile immaginare una cubica con cinque punti in cui la normale che vi passa contiene l’origine... Al massimo arrivo a quattro.

[totissimus]

Per quanto riguardi il problema sul numero di radici, a me già riesce difficile immaginare una cubica con cinque punti in cui la normale che vi passa contiene l’origine... Al massimo arrivo a quattro.

Mi pare che la cubica $y = x^3+x^2-3x-1$ ha la normale passante per l'origine in esattamente cinque punti. O mi sbaglio ?

[j18eos]

Scusate, forse sono io che non sto capendo bene...

È dal XIX secolo che, senza alcuna ombra di dubbio, si può affermare che una retta \(\displaystyle r\) interseca una curva algebrica piana irriducibile¹ \(\displaystyle\gamma\) di grado \(\displaystyle d\) in al più \(\displaystyle d\) punti distinti.

Così, ad occhio, la curva proposta da totissimus mi sembra irriducibile, per cui non va bene...

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Note

1. Sia \(\displaystyle f\in\mathbb{R}[x,y]\) irriducibile, allora l'insieme
   \[
   \gamma=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)=0\}
   \]
   si definisce \emph{curva algbrica (piana) irriducibile}; e il grado di \(\displaystyle f\) si chiama grado di \(\displaystyle\gamma\). ↑

[dissonance]

Sì concordo, io l'avevo fatto così: $(x,y)$ ortogonale a $(x',y')$ significa che $x*x'+y*y'=0$ che si può scrivere come $2x*x'+2y*y'=0$ e integrando $x^2+y^2=R^2$

Ci stavo ripensando. Prima ho detto di avere capito, ma non è vero. Abbiamo richiesto che la *normale* alla curva passi per l'origine, mentre qui stai chiedendo che *il vettore posizione* \((x, y)\) sia ortogonale alla velocità \((\dot{x}, \dot{y})\). Perché queste due cose dovrebbero essere la stessa?

[gugo82]

Le equazioni parametriche della normale alla curva $(x(t),y(t))$ nel suo punto generico sono:
\[
\begin{cases}
x=x(t)-s\ y^\prime (t)\\
y=y(t)+s\ x^\prime (t)
\end{cases}\qquad \text{, con } s\in \mathbb{R}\;.
\]
Imponendo il passaggio per l'origine a tale retta si ricava che la posizione è ortogonale alla tangente.