Domini di olomorfia per tutti i gusti

Messaggioda j18eos » 23/06/2018, 15:19

Considerata la serie di potenze a valori complessi
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n^2};
\]
determinare il suo insieme di convergenza \(\displaystyle S\). Denominata \(\displaystyle f(z)\) la sua funzione somma:
  1. determinare una sua forma esplicita,
  2. determinare il suo dominio di olomorfia \(\displaystyle\Omega\).
Definita la successione di funzioni a valori complessi
\[
\forall k\in\mathbb{N}_{\geq0},\,g_k(z)=f\left(z^k\right);
\]
  1. determinare il dominio di olomorfia di ogni \(\displaystyle g_k(z)\);
  2. studiarne la convergenza e diversi insiemi di convergenza;
  3. cosa si può dire del dominio di olomorfia della funzione limite?
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

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Re: Domini di olomorfia per tutti i gusti

Messaggioda gugo82 » 24/06/2018, 16:56

Per i primi due quesiti, risponderei così:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per il Teoremino di Picardino ( :-D ), la serie converge nel disco unitario chiuso privato di $1$, quindi $S=bar(D)(0;1) \setminus \{1\}$.

La somma $f$ della serie è olomorfa nell'interno di $S$ e la sua derivata $f^\prime$ è la somma della serie:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{n} = \frac{1}{z}\ \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} \; ,
\]
dunque:
\[
f^\prime (z) = - \frac{\log(1 - z)}{z}\;.
\]
Ne consegue che per $z=x in [-1,1[$ e determinazione principale dell'argomento, risulta:
\[
f(x) = - \int_0^x \frac{\log (1-t)}{t}\ \text{d} t = - \int_0^1 \frac{\log (1-x\tau)}{\tau}\ \text{d} \tau
\]
e tale funzione si prolunga analiticamente in modo unico in $S$ come funzione monodroma analitica ed in modo unico come funzione polidroma analitica ad $Omega := CC \setminus \{0\}$.1 Il punto $1$ è di diramazione per $f$, le determinazioni essendo infinite (ognuna in corrispondenza di una determinazione del logaritmo complesso).

Note

  1. La funzione così ottenuta si chiama usualmente polilogaritmo di indice $2$ e si denota con \(\operatorname{Li}_2(z)\).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Messaggioda j18eos » 24/06/2018, 19:29

Ecco, è lì che volevo l'analista compless(at)o di turno! :-D
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Come mai non si dice che \(\displaystyle\sum_{z=1}^n\frac{z^n}{n^2}\) in \(\displaystyle1\) converge al valore\(\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)? Il Grande Teorema di Picard non cozza col Problema di Basilea, risolto da Eulero?
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Re: Domini di olomorfia per tutti i gusti

Messaggioda gugo82 » 24/06/2018, 21:15

Perché sono un cretino io, che ho scritto di corsa e non ho applicato correttamente il Teoremino1 perché non ne ricordavo bene l'enunciato. :oops:

Note

  1. Il cui enunciato è il seguente:
    Sia $sum a_n z^n$ una serie di potenze a coefficienti reali positivi.

    Se la successione dei coefficienti è decrescente ed infinitesima, allora la serie converge in tutti i punti della circonferenza unitaria, ad eccezione al più del punto $1$.
    Dunque, il raggio di convergenza della serie è $>=1$ ed è uguale ad $1$ se la serie numerica $sum a_n$ diverge.
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Messaggioda j18eos » 25/06/2018, 21:46

Se tu sei un cretino: io che sono?, sono confuso! :smt101 :smt120
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