Se avessi messo questo quesito in "scervelliamoci un po'" probabilmente avresti ricevuto tonnellate di risposte (giuste) ormai!
Invece messa qua.... be' io c'ho provato ma non sono molto avvezzo a questo tipo di esercizi quindi non garantisco!
Passo 1:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Riscriviamo come
\[ (x^2+3y^2-12^{1003} )(x^2+3y^2+12^{1003} ) = 3x^2y^2 \]
Il membro di sinistra deve essere multiplo di $3$. Dunque almeno uno dei due fattori deve esserlo. Supponiamo lo sia il fattore di sinistra, ma allora $x$ è multiplo di $3$, ma allora anche il fattore di destra è multiplo di $3$. Analogamente se supponiamo che il fattore di destra sia multiplo di $3$. Abbiamo quindi che entrambi i fattori sono multipli di $3$ e in particolare deve essere che $x=3k$ per qualche $k \in ZZ$.
Otteniamo:
\[ 9(3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4)(3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4) = 27k^2y^2\]
\[ (3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4)(3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4) = 3k^2y^2\]
Riapplicando il ragionamento sopra esposto a $y$, si ottiene che deve essere $y=3h$ per qualche $h \in ZZ$. Dunque:
\[ 9(k^2+3h^2-12^{1001} \cdot 4^2)(k^2+3h^2-12^{1001} \cdot 4^2) = 27k^2y^2\]
\[ (k^2+3h^2-12^{1001} \cdot 4^2 )(k^2+3h^2+12^{1001} \cdot 4^2 ) = 3k^2h^2 \]
Quindi questo cambiamento di variabile a due passi si può applicare ancora $500$ volte. Quindi esiste \( (k,h) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{501}k \) e \( y= 3^{501}h \) e deve valere
\[ (k^2+3h^2-12 \cdot 4^{1002} )(k^2+3h^2+12 \cdot 4^{1002} ) = 3k^2h^2 \]
Riapplicandolo un'ultima volta su $k$ si conclude che esiste \( (k,h) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{502}k \) e \( y= 3^{501}h \) e deve valere
\[ (3k^2+h^2-4^{1003} )(3k^2+h^2+ 4^{1003} ) = 3k^2h^2 \]
Passo 2:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Abbiamo concluso che esiste \( (k,h) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{502}k \) e \( y= 3^{501}h \) e deve valere
\[ (3k^2+h^2-4^{1003} )(3k^2+h^2+ 4^{1003} ) = 3k^2h^2 \]
Che può essere riscritta come:
\[ (3k^2+h^2)^2 = 2^{4012} +3k^2h^2 \]
Cioè deve valere
\[ (3k^2+h^2)^2 \equiv 3k^2h^2 \quad \quad (\text{mod } 2) \]
Si può facilmente verificare che deve essere che $k$ e $h$ devono essere entrambi multipli di $2$.
Ovvero esiste \( (m,n) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(k=2m \) e \( h= 2n \) e deve valere
\[ 16 \cdot (3m^2+n^2)^2 = 2^{4008}\cdot 2^4 +3\cdot 16 m^2n^2 \]
\[ (3m^2+n^2)^2 = 2^{4008} +3 m^2n^2 \]
Riapplicando questo ragionamento altre $1002$ volte si ha che esiste \( (m,n) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(k=2^{1003}m \) e \( h= 2^{1003}n \) e deve valere
\[ (3m^2+n^2)^2 = 1 +3 m^2n^2 \]
Passo 3:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Abbiamo concluso che esiste \( (m,n) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{502}\cdot 2^{1003}m \) e \( y= 3^{501} \cdot 2^{1003}n \) e deve valere
\[ (3m^2+n^2)^2 = 1 +3 m^2n^2 \quad \quad \quad (\ast) \]
Ma da qua si ricava che
\[ 6m^2n^2 \le (3m^2+n^2)^2 = 1 +3 m^2n^2 \Rightarrow m^2n^2 \le \frac{1}{3} \Rightarrow m^2n^2=0 \]
E quindi ci sono tre possibilità:
\( (m,n) =(0,0) \Rightarrow (x,y) =(0,0) \) che non è soluzione.
\( m \ne 0 \wedge n =0 \Rightarrow x \ne 0 \wedge y=0 \Rightarrow x^4 = 12^{2006} \) che è impossibile.
\( m =0 \wedge n \ne 0 \Rightarrow x=0 \wedge y \ne 0 \Rightarrow y = \pm 3^{501} \cdot 2^{1003} \)
ovvero con \(n= \pm 1 \).
Cioè in definitiva \( (x,y) = (0, 3^{501} \cdot 2^{1003}) \) oppure \( (x,y) = (0, -3^{501} \cdot 2^{1003}) \).
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)