Una (curiosa) disuguaglianza integrale
Inviato: 12/07/2018, 22:49
Esercizio. Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione continua, strettamente positiva e tale che \( f(x + 1)=f(x) \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \). Mostrare che \[ \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx \ge 1.\]
Soluzione in spoiler.
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Preliminarmente osservo che la funzione \(g: x \mapsto x + 1/x \) è tale che \(g(x) \ge 2 \) per ogni \(x > 0 \). Poi \[ \begin{split} \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx & = \int_0^{1/2}\frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx + \int_{1/2}^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx \\ & = \int_0^{1/2}\frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx + \int_0^{1/2}\frac{f(x+1/2)}{f(x)} \, dx \\ & = \frac{1}{2} \left[\frac{f(c)}{f(c+ 1/2)} + \frac{f(c+1/2)}{f(c)} \right] \end{split} \]con \(c\in [0,1/2] \) dal teorema della media integrale. L'ultima riga è \( \ge 1 \) per le considerazioni preliminari.