Un modo "buffo" per mostrare che \( 22/7 > \pi \)

[Delirium]

Calcolare \[ \int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2} \, dx. \]

[gugo82]

L'ho messo nella nuova versione dei fogli di esercizi sul Calcolo Integrale...

Aggiungo un paio di punti, sempre elementari.

2. Chiamato $I_1$ l'integrale proposto da Delirium e posto:
\[
J_1 := \int_0^1 x^4 (1-x)^4\ \text{d} x\; ,
\]
provare che:
\[
\frac{1}{2}\ J_1 < I_1 < J_1\; .
\]
Calcolando esplicitamente $J_1$, stimare il numero $22/7 - pi$ (che fornisce l'errore commesso approssimando $pi$ col numero razionale $22/7$).

3. Posto:
\[
\begin{split}
I_2 := \int_0^1 \frac{x^8 (1-x)^8}{1+x^2}\ \text{d} x \qquad &\text{e}\qquad J_2 := \int_0^1 x^8 (1-x)^8\ \text{d} x\\
I_3 := \int_0^1 \frac{x^{12} (1-x)^{12}}{1+x^2}\ \text{d} x \qquad &\text{e}\qquad J_3 := \int_0^1 x^{12} (1-x)^{12}\ \text{d} x
\end{split}
\]
provare ad usare lo schema proposto per il punto 2 per ottenere approssimazioni di $pi$; confrontare i risultati con quanto già acquisito nel punto 2.
Le approssimazioni sono sempre per eccesso? Migliorano? Peggiorano?
Descrivere la situazione e proporre qualche congettura per il caso generale.

[cooper]

provo a cimentarmi in questi esercizi. anzitutto:

Calcolare \[ \int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2} \, dx. \]

applicando il binomio di Newton con $n=4$ e svolgendo il prodotto ottengo
$int_(0)^(1)(x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4)/(1+x^2)dx$
svolgendo ora la divisione tra i due polinomi a numeratore e denominatore arrivo a $int_(0)^(1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-4/(1+x^2))dx rArr I_1 = 22/7 -pi$

2. Chiamato I1 l'integrale proposto da Delirium e posto ecc

poichè $(x^4(1-x)^4)/(1+x^2) < x^4(1-x)^4$ dalla monotonia dell'integrale segue $I_1 < J_1$
per l'altra metà disequazione noto che vale $J_1 / 2 < J_1 > I_1$ e dunque $J_1 / 2 < I_1 < J_1$
noto che $J_1 = 1/630$

3. Posto:

usando un grande triangolo di Tartaglia ( ) ottengo $I_2 = 4pi - (188684)/(15015)$, $J_2 = 1/(218790)$, $I_3 = -16 pi +(431302721)/(8580495)$, $J_3 = 1/(67603900)$
e le disuguaglianze del punto 2 valgono per tutti gli indici.
per quanto riguarda la stima mi sembra si affini di più passando dall'ordine $10^(-4)$ per il primo integrale a $10^(-7)$ nel secondo ed infine a $10^(-10)$ nel terzo.
vedendo l'andamento per 2,3 per il caso generale mi verrebbe da dire che le stime si affinano sempre più, migliorando la precisione

[Delirium]

[...] applicando il binomio di Newton con $n=4$ e svolgendo il prodotto ottengo
$int_(0)^(1)(x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4)/(1+x^2)dx$
svolgendo ora la divisione tra i due polinomi a numeratore e denominatore arrivo a $int_(0)^(1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-4/(1+x^2))dx rArr I_1 = 22/7 -pi$ [...]

Ti sei dimenticato la parte "interessante" (visto che il calcolo dell'integrale è banale).

[cooper]

Ti sei dimenticato la parte "interessante" (visto che il calcolo dell'integrale è banale).

a quale ti riferisci? mi sembrava di aver risposto a tutto

[Delirium]

[...] a quale ti riferisci? mi sembrava di aver risposto a tutto

Alla "domanda" nel titolo del thread

[cooper]

ahhhh! non avevo recepito che giustamente fosse una domanda.
è positivo perchè l'integrando è positivo e noto che in un punto tra 0 ed 1 (per esempio $1/3$) l'integrando è strettamente positivo ($72/5>0$). poichè l'integranda è continua in quel punto e positiva altrove l'integrale deve essere strettamente positivo.