Livius ha scritto:Ed esiste una tale $f$, qualora sia anche derivabile ovunque?
No. Se $f$ è derivabile ovunque in $[0,1]$, allora è assolutamente continua in $[0,1]$ e, in particolare, $\int_0^1 f'(x) dx = f(1) - f(0) \leq 1$.
Di conseguenza, tenendo conto del fatto che $f'(x) \geq 0$ per ogni $x$,
\[
L = \int_0^1 \sqrt{1 + f'(x)^2} \, dx \leq \int_0^1 ( 1 + f'(x))\, dx = 1 + f(1) - f(0) \leq 2.
\]
Se, per assurdo, si avesse $L=2$, dovremmo necessariamente avere $f(0) = 0$ e $f(1) = 1$ (e fin qui nessun problema); d'altra parte, affinché valga l'uguaglianza nella prima maggiorazione, si dovrebbe anche avere $f'(x) = 0$ quasi ovunque, assurdo.