Una produttoria di coseni

Messaggioda Delirium » 23/08/2018, 16:23

Esercizio. Calcolare \[ \lim_{n \to \infty} \prod_{k=2}^n \cos \left( \frac{\pi}{2^k} \right). \]
Delirium
 

Re: Una produttoria di coseni

Messaggioda cooper » 23/08/2018, 18:36

La formula di Eulero-Viète afferma che $\text{sinc(x)}:=(sin x)/x =prod_(n = 1)^(oo) cos(x/(2^n))$
Valutando ora in $pi/2$ ottengo (cambiando anche indice $n=k+1$)
$\text{sinc}(pi/2)=prod_(k = 2)^(oo) cos(pi/(2^k))$
Da cui il limite richiesto fa $2/(pi)$
cooper
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Re: Una produttoria di coseni

Messaggioda dan95 » 23/08/2018, 18:58

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Definiamo
\begin{equation}
P_n:= \prod_{k=2}^{n} \cos(\frac{\pi}{2^k})
\end{equation}

Usiamo ricorsivamente la formula
\begin{equation}
\frac{\sin(2x)}{2}=\cos(x)\sin(x)
\end{equation}

Otteniamo

\begin{equation}
\sin(\frac{\pi}{2^n})P_n=\frac{1}{2^{n-1}}
\end{equation}

da cui

\begin{equation}
P_n=\frac{1}{2^{n-1}\sin(\frac{\pi}{2^n})}
\end{equation}

Passando al limite $n \rightarrow +\infty$ otteniamo $P_n \rightarrow \frac{2}{\pi}$
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Una produttoria di coseni

Messaggioda Delirium » 23/08/2018, 19:39

Yep
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