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Inviato: **23/08/2018, 16:23**

Esercizio. Calcolare \[ \lim_{n \to \infty} \prod_{k=2}^n \cos \left( \frac{\pi}{2^k} \right). \]

Inviato: **23/08/2018, 18:36**

La formula di Eulero-Viète afferma che $\text{sinc(x)}:=(sin x)/x =prod_(n = 1)^(oo) cos(x/(2^n))$
Valutando ora in $pi/2$ ottengo (cambiando anche indice $n=k+1$)
$\text{sinc}(pi/2)=prod_(k = 2)^(oo) cos(pi/(2^k))$
Da cui il limite richiesto fa $2/(pi)$

Inviato: **23/08/2018, 18:58**

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Definiamo
\begin{equation}
P_n:= \prod_{k=2}^{n} \cos(\frac{\pi}{2^k})
\end{equation}

Usiamo ricorsivamente la formula
\begin{equation}
\frac{\sin(2x)}{2}=\cos(x)\sin(x)
\end{equation}

Otteniamo

\begin{equation}
\sin(\frac{\pi}{2^n})P_n=\frac{1}{2^{n-1}}
\end{equation}

da cui

\begin{equation}
P_n=\frac{1}{2^{n-1}\sin(\frac{\pi}{2^n})}
\end{equation}

Passando al limite $n \rightarrow +\infty$ otteniamo $P_n \rightarrow \frac{2}{\pi}$

Inviato: **23/08/2018, 19:39**

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Una produttoria di coseni

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