da dan95 » 23/08/2018, 18:58
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Definiamo
\begin{equation}
P_n:= \prod_{k=2}^{n} \cos(\frac{\pi}{2^k})
\end{equation}
Usiamo ricorsivamente la formula
\begin{equation}
\frac{\sin(2x)}{2}=\cos(x)\sin(x)
\end{equation}
Otteniamo
\begin{equation}
\sin(\frac{\pi}{2^n})P_n=\frac{1}{2^{n-1}}
\end{equation}
da cui
\begin{equation}
P_n=\frac{1}{2^{n-1}\sin(\frac{\pi}{2^n})}
\end{equation}
Passando al limite $n \rightarrow +\infty$ otteniamo $P_n \rightarrow \frac{2}{\pi}$
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio
"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.
"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.