Un'equazione differenziale di Bessel di ordine \(0\)

[Delirium]

Esercizio. Per \(t>0\) si consideri la seguente equazione differenziale di Bessel \[ t^2 x'' (t) + 2t x'(t) + t^2 x(t) =0 \qquad (*). \]
(i) Calcolare una soluzione \(x_1 (t) \) di \( (*)\) nella forma \( x_1 (t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n \);

(ii) Scrivere \( x_1 (t)\) in "forma chiusa";

(iii) Calcolare una seconda soluzione \(x_2(t)\) di \( (*)\), linearmente indipendente da \( x_1(t) \), nella forma \( x_2(t)=v(t) x_1(t)\) per una certa funzione \( v(t)\).

[Delirium]

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Non spendo parole sulla forma di tali soluzioni, c'è della teoria nell'Ambrosetti-Ahmad che giustifica. Dando quindi per scontato di poter scambiare derivazione con sommazione, \( x_1 \) infilata in \( (*) \) fornisce \[ \sum_{n=0}^\infty a_n n (n-1) t^n + 2 \sum_{n=0}^\infty a_n n t^n + \sum_{n=0}^\infty a_n t^{n+2} = 0; \]dovendo uccidere i coefficienti di ogni monomio si vede subito che deve essere \( a_1 = 0\) e \( a_2 = -a_0 /3 \cdot 2 \); induttivamente si vede che tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli, mentre per quelli di indice pari vale \( a_n = -a_{n-2} / n\cdot (n+1) \). Scritto meglio, si ha che \[ x_1 (t) = a_0 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^{2k} = a_0 \frac{\sin(t)}{t}, \quad a_0 \ne 0. \]Questo risolve (i) e (ii).

Sostituendo invece \( x_2 \) in \( (*) \) si ottiene una nuova equazione: \[ t^2 ( v''(t) x_1 (t) + 2v'(t) x_1 ' (t) + v(t) x_1 '' (t) ) + 2t (v'(t) x_1 (t) + v(t) x_1 ' (t)) + t^2 v(t) x_1 (t) =0 \]ed usando il fatto che \(x_1 (t)\) soddisfa \((*) \) la precedente diventa \[ t^2 v''(t) x_1 (t) + v'(t) (2t^2 x_1 '(t) + 2t x_1(t))=0\] cioè \[ \frac{v''(t)}{v'(t)} =-2 \frac{x_1 '(t)}{x_1 (t)} - \frac{2}{t}\] donde \[ \log( v'(t)) = -2 \log (x_1 (t)) - 2 \log t = \log \left( \frac{1}{x_1 ^2 (t) t^2 } \right) \longrightarrow v'(t) = \frac{1}{x_1 ^2 (t) t^2} = \frac{1}{\sin^2 t}. \]In conclusione, integrando di nuovo, \(v(t) = -\cot(t) \) e quindi possiamo prendere \( x_2(t) = - \cos (t) / t \).

Infine il determinante wronskiano \[ \begin{vmatrix} a_0 \frac{\sin t}{t} & - \frac{\cos t}{t} \\ a_0 \frac{t \cos t - \sin t}{t^2} & \frac{t \sin t + \cos t}{t^2} \end{vmatrix} = \frac{a_0}{t^2} \ne 0 \]garantendo l'indipendenza lineare delle due soluzioni conclude l'esercizio.