Parlavo di questo fatto un po' di tempo fa con otta96 e come esempio di spazio di Hilbert non separabile si era tirato fuori \( L^2\big(A,2^A,\mu_c \big) \) con $A$ un insieme più che numerabile e $\mu_c$ la misura del conteggio definita sulla sigma algebra $2^A$.
Per l'esercizio, provo:
0.
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Sia \( f \in X \) del tipo \( f(t)= \sum_{k=1}^n c_k e^{i \alpha_k t}, \ n \in \mathbb{N}, \ c_k \in \mathbb{C}, \ \alpha_k \in \mathbb{R} \). Si noti che può sempre essere riscritta in modo da avere \( a_j \ne a_i \) se \( i \ne j \) e con i \(c_k \) tutti non nulli. Nel seguito assumerò che sia sempre così.
1.
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Sia \(f \in X \) come in 0. :
\[ \langle f, f \rangle = \lim_{A \to + \infty } \frac{1}{2A} \int_{-A}^A f(t) \overline{f(t)}dt = \lim_{A \to + \infty } \frac{1}{2A} \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n c_k \overline{c_j} \int_{-A}^A e^{it(a_k-a_j)} dt =\]
\[ \lim_{A \to + \infty} \frac{1}{2A} \sum_{k, j =1 \\ k \ne j }^n \frac{c_k \overline{c_j}}{i(a_k-a_j)} ( e^{i(a_k-a_j)A} - e^{-i(a_k-a_j)A} )+ \sum_{k =1}^n |c_k|^2 \overset{\ast}{=} \sum_{k =1}^n |c_k|^2 \]
\[ \ast : \lim_{A \to + \infty} \frac{1}{2A} \Biggl | \sum_{k, j =1 \\ k \ne j }^n \frac{c_k \overline{c_j}}{i(a_k-a_j)} ( e^{i(a_k-a_j)A} - e^{-i(a_k-a_j)A} ) \Biggr | \le \lim_{A \to + \infty} \frac{1}{2A} \sum_{k, j =1 \\ k \ne j }^n \Biggl | \frac{c_k \overline{c_j}}{i(a_k-a_j)} \Biggr | \Biggl | ( e^{i(a_k-a_j)A} - e^{-i(a_k-a_j)A} ) \Biggr | \le \lim_{A \to + \infty} \frac{1}{A} \sum_{k, j =1 \\ k \ne j }^n \Biggl | \frac{c_k \overline{c_j}}{i(a_k-a_j)} \Biggr | =0 \]
Da cui si ricava che il punto (i) della definizione di prodotto interno è soddisfatto.
Sempre da qua, se \( \langle f, f \rangle =0 \) allora \( c_k =0 \) per \( k=1, \dots , n \) e dunque \( f \equiv 0 \), cioè (ii) è soddisfatto.
(iii) segue dalla linearità del limite e dell'integrale.
(iv) segue dal fatto che \( f \) prende valori reali e quindi si possono scambiare coniugio e integrale.
2.
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Segue dall'uguaglianza mostrata in 1. (ci va però \( \| f \|^2 \), credo).
3.
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Consideriamo la successione di elementi \( \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset X \) data da
\[ f_n(t) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} e^{ikt} \quad \quad t \in \mathbb{R} \quad \quad n=1, 2, \dots \]
Allora, siano \( m, n \in \mathbb{N_0} \) con \( m \le n \):
\[ d^2_{\| \cdot \|} (f_n , f_m ) = \| f_n-f_m\|^2 = \Biggl \| \sum_{k=m}^n \frac{1}{k}e^{ikt} \Biggr \|^2 \overset{\ast}{=} \sum_{k=m}^n \frac{1}{k^2} \overset{m,n \to + \infty}{\longrightarrow} 0 \]
perché la serie associata è convergente e \( \ast \) è il punto 2.
La successione \( \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) è dunque di Cauchy. Supponiamo che lo spazio \( (X, d_{\| \cdot \|}) \) sia completo ovvero che esista \(f \in X \) tale che \( f_n \to f \).
Quello che voglio mostrare è che, siccome \( \{e^{ikt}\}_{k \in \mathbb{R}} \) è un sistema ortonormale, non può essere che una serie di questi elementi sia composta da un numero finito di essi. Il come mi è risultato abbastanza macchinoso:
Noto che, per ogni \( n \in \mathbb{N}_0 \) fissato, si ha:
\[ \langle f, f_n \rangle = \langle \lim_{m} f_m , f_n \rangle = \lim_{m} \langle f_m , f_n \rangle = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \]
per la continuità del limite rispetto al prodotto scalare e per il fatto che, poiché definitivamente \( m > n \), si ha
\[ \langle f_m , f_n \rangle = \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^n \frac{1}{k} \frac{1}{j} \langle e^{ikt}, e^{ijt} \rangle = \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^n \frac{1}{k} \frac{1}{j} \delta_{kj} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \]
D'altra parte, poiché \(f \in X \) esistono, \(N \in \mathbb{N} \) , \(c_k \in \mathbb{C} \) e \( \alpha_k \in \mathbb{R} \) tali che \( f(t)= \sum_{k=1}^N c_k e^{i \alpha_k t} \) fatti come in 0. .
Dunque, per ogni \( n \in \mathbb{N}_0 \) fissato, si ha:
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \langle f, f_n \rangle = \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^n \frac{c_j}{k} \langle e^{i\alpha_j t}, e^{ikt} \rangle = \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^n \frac{c_j}{k} \delta_{\alpha_j , k} = \sum_{k=1}^n \frac{\beta_k}{k}\]
Infatti per ogni \( 1 \le k \le n \) esiste al più un \( 1 \le j \le N \) tale che \( a_j =k \). Definisco \( \beta_k \) nel seguente modo: se per un \(k \) esiste tale \( j \) pongo \( \beta_k = c_j \) altrimenti pongo \( \beta_k = 0\).
Dunque deve valere
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} (\beta_k - 1/k) =0 \]
e questo per ogni \( n \in \mathbb{N}_0 \) fissato.
Se \(n = 1 \) allora deve essere \( \beta_1 =1 \) e quindi \( N \ge 1 \).
Se \(n =2 \) allora deve essere \( \beta_2 = 1/2 \) e quindi \(N \ge 2 \).
E così via, quindi \(N \ge n \) per ogni \( n \in \mathbb{N}_0 \) il che è assurdo.
4.
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Come detto in 3. , l'insieme \( \{e^{ikt} \}_{k \in \mathbb{R}} \subset H \) è un sistema ortonormale più che numerabile da cui si ha che lo spazio non può essere separabile.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
