Esercizio sulle misure prodotto

Messaggioda Bremen000 » 25/08/2018, 18:16

Vorrei proporre il seguente esercizio di Teoria della Misura, l'ho trovato interessante e non immediato.
Non sapevo se postare qua o in Analisi Superiore: l'argomento del post si colloca probabilmente in tale ambito ma la frequentazione di questa sezione mi sembrava più adatta.

Esercizio:
Sia $m$ una misura boreliana di probabilità su $[0,1]$ e sia $m\otimes m$ la misura prodotto su $[0,1]^2$.
Dimostrare che:


1. Esiste una successione di punti $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset [0,1]$ e una misura boreliana $m^c$ su $[0,1]$ t.c.
$$ m = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n \delta_{x_n} + m^c $$ dove $c_n := m(\{x_n\})$, $\delta_x$ è la misura di Dirac centrata in $x$ e $m^c(\{x\})=0$ per ogni $x \in [0,1]$.

2. Sia \( D:=\{(x,y) : x=y \} \subset [0,1]^2 \). Allora
$$ m \otimes m (D) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n^2$$

3. Inoltre vale:
$$ \sup\{m(\{x\}), x \in [0,1] \} \ge m \otimes m (D) $$
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
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Re: Esercizio sulle misure prodotto

Messaggioda Bremen000 » 14/09/2018, 20:33

Una traccia di soluzione:

1.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Scrivendo \( I=\{ x \in [0,1]: m(\{x\}) >0 \}= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{ x \in [0,1] : m(\{x\}) > 1/n \} = \bigcup I_n\) e supponendo per assurdo che $I$ sia più che numerabile si ricava che deve esistere un $N$ tale che $I_N$ è infinito. Ma allora contiene almeno $2N$ elementi. Ma allora si ha che \( m([0,1])\ge 2 \) che è assurdo. Dunque \( I = \{x_n\}_{n} \) e \( c_n = m(\{x_n\}) \).


2.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Qui è questione di falegnameria. Che la misura della diagonale sia maggiore o uguale a \( \sum_n c_n^2 \) è evidente per la definizione di misura prodotto.
Si deve dimostrare che la misura della diagonale privata dei punti \( (x_n, x_n) \) è 0. Per fare ciò si può fissare \(\epsilon>0 \) e mostrare che esiste un insieme $A$ che contiene \( D \setminus \{ (x_n, x_n) \}_n \) di misura minore di $\epsilon$.
L'insieme $A$ può essere costruito come segue:
Si dimostra che per ogni \( N \in \mathbb{N} \) esiste una partizione finita disgiunta \( \{A_1, \dots, A_N \} \) di \( [0,1] \) t.c. \( m^c(A_i) = m^c([0,1])/N \) per ogni \( i=1, \dots, N \). (*)
Allora se $N> (m^c([0,1]))^2 / \epsilon $, l'insieme
$$A= \Biggl ( \bigcup_{i=1}^N A_i \times A_i \Biggr ) \setminus \{(x_n, x_n) \}_n $$
ha la proprietà richiesta.
Il nocciolo della questione è (*).


3.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Basta notare che
$$\sum_{n \in \mathbb{N}} c_n^2 \le \sup\{m(\{x\}), x \in [0,1] \} \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n$$
e che la somma dei $c_n$ deve essere minore o uguale a 1.
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