Vorrei proporre il seguente esercizio di Teoria della Misura, l'ho trovato interessante e non immediato.
Non sapevo se postare qua o in Analisi Superiore: l'argomento del post si colloca probabilmente in tale ambito ma la frequentazione di questa sezione mi sembrava più adatta.
Esercizio:
Sia $m$ una misura boreliana di probabilità su $[0,1]$ e sia $m\otimes m$ la misura prodotto su $[0,1]^2$.
Dimostrare che:
1. Esiste una successione di punti $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset [0,1]$ e una misura boreliana $m^c$ su $[0,1]$ t.c.
$$ m = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n \delta_{x_n} + m^c $$ dove $c_n := m(\{x_n\})$, $\delta_x$ è la misura di Dirac centrata in $x$ e $m^c(\{x\})=0$ per ogni $x \in [0,1]$.
2. Sia \( D:=\{(x,y) : x=y \} \subset [0,1]^2 \). Allora
$$ m \otimes m (D) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n^2$$
3. Inoltre vale:
$$ \sup\{m(\{x\}), x \in [0,1] \} \ge m \otimes m (D) $$