Una serie numerica a segni alterni

[Erasmus_First]

Calcolare la serie
$sum_{k=0}^∞(-1)^k/(2k+1)^3$ $= 1 - 1/3^3 + 1/5^3 -1/7^3 + 1/9^3 - 1/11^3+ 1/13^3-1/15^3+1/17^3-1/19^3+...$ (ecc., ecc.)
_________



P.S. (Editando h 12:34 di mercoledì 5 settembre 2018).
Chiedo sc usa.
Ho corretto l'estremo inferiore della sommatoria (che parte da k=0 e non da k=2 come stava scritto prima della correzione).
Ciao specialòmente a Rigel

[Rigel]

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Come è (più o meno) noto, la serie \(\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin(2k+1)x}{2k+1}\) converge puntualmente alla funzione dispari, periodica di periodo \(2\pi\), che vale \(\pi/4\) su \((0, \pi)\).
Integrando due volte per serie, si ha che
\[
\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin(2k+1)x}{(2k+1)^3} = \frac{\pi x (\pi - x)}{8}\,,
\qquad \forall x\in [0,\pi].
\]
Valutando l'uguaglianza per \(x = \pi/2\) si giunge infine a
\[
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^3} = \frac{\pi^3}{32}.
\]
(Se la serie parte da \(2\) basta sottrarre \(1-1/27 = 26/27\) al risultato trovato.)

[Erasmus_First]

@ Rigel

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Rilancio!
E se invece di 3 l'esponente dei denominatori dispari fosse un dispari 2n+1 positivo qualunque?
Come calcolare la serie senza fare tutte le opportune integrazioni analogamente a quanto ha fatto Rigel nel caso
2n+1 = 3
(ossia per n = 1) ?

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[Rigel]

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Rilancio!
E se invece di 3 l'esponente dei denominatori dispari fosse un dispari 2n+1 positivo qualunque?
Come calcolare la serie senza fare tutte le opportune integrazioni analogamente a quanto ha fatto Rigel nel caso
2n+1 = 3
(ossia per n = 1) ?

Per questo ho visto diversi modi, essenzialmente tutti basati sull'analisi complessa, ma non credo di avere mai visto una dimostrazione elementare.