strano integrale indefinito
Inviato: 20/09/2018, 15:00Ciao, vi propongo questo interessante integrale da risolvere.
$int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx$
$int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx$
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strano integrale indefinito
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Inviato: 20/09/2018, 15:00Re: strano integrale definito
Inviato: 20/09/2018, 16:51Attento che quello è un integrale indefinito
Re: strano integrale definito
Inviato: 20/09/2018, 17:05dan95 ha scritto:Attento che quello è un integrale indefinito
Che sbadato, grazie
ho corretto il titolo
Re: strano integrale indefinito
Inviato: 20/09/2018, 22:56Ecco la soluzione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$arctan(sinh(x))$ rappresenta un angolo generico $theta$.
Per cui $theta=arctan(sinh(x))$ $hArr$ $tan(theta)=sinh(x)$.
La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è uguale la lato opposto all'angolo ($theta$) fratto il lato adiacente, di conseguenza $tan(theta)=sinh(x)/1$
Possiamo calcolare anche il seno di theta come il lato opposto a theta fratto l'ipotenusa.
Tramite il teorema di pitagora si ha che l'ipotenusa vale $sqrt(1+sinh^2(x))$ ovvero $sqrt(cosh^2(x))$ semplificando otteniamo $cosh(x)$.
Per cui $sin(theta)=sinh(x)/cosh(x)=tanh(x)$ quindi in definitiva $theta=arcsin(tanh(x))$ abbiamo così dimostrato che $arctan(sinh(x))=arcsin(tanh(x))$ ciò implica che $int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx=int1dx=x+C$
Per cui $theta=arctan(sinh(x))$ $hArr$ $tan(theta)=sinh(x)$.
La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è uguale la lato opposto all'angolo ($theta$) fratto il lato adiacente, di conseguenza $tan(theta)=sinh(x)/1$
Possiamo calcolare anche il seno di theta come il lato opposto a theta fratto l'ipotenusa.
Tramite il teorema di pitagora si ha che l'ipotenusa vale $sqrt(1+sinh^2(x))$ ovvero $sqrt(cosh^2(x))$ semplificando otteniamo $cosh(x)$.
Per cui $sin(theta)=sinh(x)/cosh(x)=tanh(x)$ quindi in definitiva $theta=arcsin(tanh(x))$ abbiamo così dimostrato che $arctan(sinh(x))=arcsin(tanh(x))$ ciò implica che $int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx=int1dx=x+C$