Data $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funzione continua, se per ogni reale positivo $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$, è vero che $f(x)$ è una funzione dispari?
a. Possiamo sostituire la condizione "per ogni reale positivo $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$" con "per ogni naturale $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$"? Giustificare la risposta.
b. Possiamo fare a meno della continuità? In caso positivo, riformulare l'enunciato e fornire una dimostrazione.
La prima domanda mi è balenata in testa qualche minuto fa, e mentre tentavo di formularla in maniera decente, sono riuscito a costruire una dimostrazione, però sono curioso ... magari qualcuno fornirà una prova differente dal mia. Sui punti a. e b. ho più di qualche idea, ma non ho ancora formalizzato i miei ragionamenti.