La nullità di integrali su intervalli simmetrici implica la disparità?

[Mathita]

Data $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funzione continua, se per ogni reale positivo $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$, è vero che $f(x)$ è una funzione dispari?

a. Possiamo sostituire la condizione "per ogni reale positivo $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$" con "per ogni naturale $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$"? Giustificare la risposta.

b. Possiamo fare a meno della continuità? In caso positivo, riformulare l'enunciato e fornire una dimostrazione.

La prima domanda mi è balenata in testa qualche minuto fa, e mentre tentavo di formularla in maniera decente, sono riuscito a costruire una dimostrazione, però sono curioso ... magari qualcuno fornirà una prova differente dal mia. Sui punti a. e b. ho più di qualche idea, ma non ho ancora formalizzato i miei ragionamenti.

[dan95]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fissiamo $y \in \mathbb{R}$ definiamo la funzione integrale $F(x)=\int_{y}^{x} f(t)dt$, allora per ipotesi

$F(a)-F(-a)=0 \Leftrightarrow F(a)=F(-a)$

Per ogni $a \in \mathbb{R}$, dunque $F(x)$ è pari, derivando si ha

$F'(x)=f(x)=-F'(-x)=-f(-x)$

Quindi $f$ è dispari.

Punta a

Un controesempio è dato dalla funzione

$f(x)={(1-2|x-1/2|, x \in [2n,2n+1)),(2|x-1/2|-1, x \in [2n+1,2n)),(\frac{\pi\sin(\pi x)}{4}, x<0):}$

[Mathita]

Ottima soluzione per il primo punto (occhio, stai utilizzando la stessa lettera per indicare sia l'estremo di integrazione, sia la variabile di integrazione).
Per il punto a. devo mettermi a fare i calcoli, però non ho carta e penna a disposizione al momento.
[Edit]: il secondo ramo della funzione ha qualcosa che non va: gli estremi dell'intervallo su cui è definito sono certamente sbagliati.

[otta96]

Di dimostrare la proposizione non ne ho voglia, anche perché lo ha già fatto dan95 e bene, non aggiungerei niente di originale, per quanto riguarda i due controesempi da trovare, per il primo basta considerare $f(x)={(0,if x<=0),(sin(2\pix),if x>0):}$ perché $\int_0^{2\pi}sinx dx=0$ e per il secondo la funzione caratteristica di ${0}$.

[Mathita]

Ottimo!

[dissonance]

Il secondo punto sarà vero se la condizione \(f(x)=-f(-x)\) si intende a meno di un insieme di misura nulla. Suppongo che la dimostrazione si farà usando il teorema di differenziazione di Lebesgue in luogo del teorema fondamentale del calcolo integrale.