cooper ha scritto:[,,,] è un $1/4^n$ e non $1/4^k$ [,,,]
Hai ragione!
Grazie per la segnalazione. [Sono già andato a correggere]
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[Ma io ho usato tutt'altro ... che col senno di poi risulta di una facilità sconcertante!]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Lo dico! Le uguaglianze da dimostrare sono, per me, una scoperta [autonoma!] di alcuni giorni fa. Naturalmente ho pensato che la probabilità che altri mi avesse preceduto era 1
[Ossia: non pretendo certo di scoprire cose nuove! Ma è un"diletto" scoprire autonomamente qualcosa di interessante. Siamo appunto "dilettanti"!
Conoscevo già il seguente sviluppo in serie di Fourier;
$1/2ln[(1+sin(x))/(1-sin(x)] = sum_{k=0}^{+∞}((-1)^k)/(2k+1) sin[(2k+1)x]$.
D'altra parte è anche $1/2ln[(1+sin(x))/(1-sin(x)] = sum_{n=0}^{+∞}1/(2n+1)sin^(2n+1)(x)$.
Se allora si scrive $sin^(2k+1)(x) =((e^(ix)-e^(-ix))/(2i)^(2n+1)$ e si sviluppa la potenza, si trova per ciasuina potenza di grado dispari di $sin(x)$ l'equivalente somma di funzioni sinusoidali. Le frequenze degli addendi sinusoidali della somma che uguaglia $sin^(2k+1)(x)$ sono dispari e la massima è uguale al grado $2k+1$ della potenza di $sin(x)$ uguagliata da quella somma.
Raccogliendo allora in un sol coefficiente tutti i coefficienti degli addendi sinusoidali di uguale frequanza si ottiene appunto – a parte il segno che si alterna tra "più" e "meno" – la serie di cui si chiede il valore nel quiz!
Ma questo (a pare il segno, come già detto) ) è proprio il coefficiente del termine a quella frequenza dello sviluppo in serie di Fourier [ossia $S_(2k+1)=2/(2k+1)$].
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Non conoscevo l'uguaglianza che esponi nella
premessa 1 per usarla poi nella soluzione del quiz!
[Ma da dove viene? E come fai tu a conoscerla?
Non si finisce mai di imparare!
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
[Pensa che io compirò 82 anni entro quest'anno (se non muoio prima
!)] .
Vedendo la tua risposta ho pensato: «Sei forte, Cooper!».
[Ma non ti ho mai visto prima di oggi qui su "matematicamente.it"]
Ho anche pensato che ho fatto bene a mettere questo quiz, proprio per vedere eventuali soluzioni "dirette" (invece della mia che è "indiretta").
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