L’uguaglianza scritta è l’identità
1 di Parseval per le indicatrici di $[0,x]$ al variare di \( x \in [0,1] \) rispetto alla famiglia ortonormale \( \{f_n\}_{n \ge 1} \) cioè
\[ \| \chi_{[0,x]} \|^2 = x = \sum_{ n \ge 1} \biggl ( \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle \biggr )^2 = \sum_{n \ge 1} \biggl ( \int_0^x f_n(t)dt \biggl ) ^2 \]
e questa uguaglianza vale se solo se \( \{ \chi_{[0,x]} \mid x \in [0,1] \} \subset \overline{\text{span } \{ f_n \}_{ n \ge 1}}\).
Dunque è sufficiente mostrare che \( \overline{\text{span } \{\chi_{[0,x]} \mid x \in [0,1] \}} = L^2([0,1]) \). Ma questo è immediato perché se \( \langle g , \chi_{[0,x]} \rangle = 0 \, \forall x \in [0,1] \) allora, per il teorema di differenziazione di Lebesgue, si ha \( g=0 \).