Dimostrare che è intero...

Messaggioda dan95 » 18/10/2018, 13:58

Si consideri una successione (bilatera) ${a_n}_{n \in \mathbb{Z}} \sub CC$ tale che
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_n|^2 = 1$

$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |n||a_n|^2 < +\infty$

E inoltre

$\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n\bar{a}_{n+m} = 0$ per ogni $m \in ZZ^{\ast}$

Dimostrare che il numero reale $ν := \sum_{n \in ZZ} n|a_n|^2$ (la serie converge in virtù delle
ipotesi precedenti) è intero, ossia $ν \in \mathbb{Z}$.
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Dimostrare che è intero...

Messaggioda Erasmus_First » 25/10/2018, 16:54

dan95 ha scritto:[,,,]
E inoltre
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n\bar{a}_{n+m} = 0$ per ogni $m \in ZZ^{\ast}$
[...]
Che insieme intendi con $ZZ^{\ast}$? Immagine
[Chiedo scusa ... se la mia domanda apparirà "da 'gnorante" Immagine
Grazie in anticipo per l'eventuale risposta. ]
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Re: Dimostrare che è intero...

Messaggioda dan95 » 26/10/2018, 10:05

Se leggi le ipotesi ci puoi arrivare :-D

Comunque te lo metto in spoiler

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$ZZ-{0}$
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Re: Dimostrare che è intero...

Messaggioda Erasmus_First » 27/10/2018, 18:10

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
dan95 ha scritto:Se leggi le ipotesi ci puoi arrivare :-D
Comunque [...]
$ZZ-{0}$
? Immagine ?
Nei mie ricordi – ma io sono davvero "antico"! – la notazione dell'insieme degli interi diversi da zero era:
$ZZ$ \ ${0}$.
Mi par di ricordare che – ai miei tempi (e parlando in generale) – l'insieme degli elementi appartenenti all'insieme A ma non appartenenti all'insieme B si indicasse con A\B
Ciao ciao
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Re: Dimostrare che è intero...

Messaggioda .Ruben. » 29/10/2018, 11:17

dan95 ha scritto:Si consideri una successione (bilatera) ${a_n}_{n \in \mathbb{Z}} \sub CC$ tale che
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_n|^2 = 1$

$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |n||a_n|^2 < +\infty$

E inoltre

$\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n\bar{a}_{n+m} = 0$ per ogni $m \in ZZ^{\ast}$

Dimostrare che il numero reale $ν := \sum_{n \in ZZ} n|a_n|^2$ (la serie converge in virtù delle
ipotesi precedenti) è intero, ossia $ν \in \mathbb{Z}$.

Un indizio?
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Re: Dimostrare che è intero...

Messaggioda dan95 » 29/10/2018, 14:39

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$\text{Hi}L^2\text{bert}$

P.s. non ho la soluzione ma penso sia quella la strada dato che il problema proviene da un compito di fisica matematica superiore (CdLM in matematica)


@Erasmus

È una notazione convenzionale
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Re: Dimostrare che è intero...

Messaggioda dan95 » 07/11/2018, 19:24

Provo a dare qualche spunto

Considerate la funzione $A(x)=\sum_{n \in ZZ} a_n e^{i nx}$...
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