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Probabilmente è un classicone, ma

Dimostrare o confutare la seguente affermazione:

Sia $X$ uno spazio lineare e siano \( \| \cdot \|_1 \) e \( \| \cdot \|_2 \) due norme su $X$ che lo rendono entrambe uno spazio di Banach. Allora \( (X , \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 ) \) è uno spazio di Banach.

In dimensione finita e' ovviamente vero.

In dimensione infinita si possono apparentemente "costruire" Banach norme non equivalenti (modulo, mi pare di capire, assumere AC). Ma mi sembra un problema difficile; tu cosa avevi in mente?

A me è stata un po' spiegata una soluzione che poi ho cercato un po' di aggiustare.

Il succo è trovare due spazi normati infinito dimensionali per i quali esista un isomorfismo di spazi vettoriali non continuo. Infatti, detti \( (X_1, \| \cdot \|_1) \) e \( (X_2 , \| \cdot \|_2 ) \) tali spazi e \( T: X_1 \to X_2 \) un tale un isomorfismo, considero gli spazi normati \( (X_1, \| \cdot \|_1) \) e \( (X_1, \| T ( \cdot ) \|_2 ) \), allora entrambi sono di Banach.
Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti, se l'isomorfismo non è continuo allora le due norme non sono equivalenti e dunque non è di Banach.

Un esempio può essere prendere \( (X_1, \| \cdot \|_1) = (l^1(\mathbb{N}), \|\cdot \|_{l^1}) \) e \( (X_2, \| \cdot \|_2) = (l^{\infty} (\mathbb{N}), \|\cdot \|_{l^{\infty}}) \). L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC). Il fatto che un tale isomorfismo non possa essere continuo è garantito dal fatto che uno è separabile e l'altro no.

Interessante da tenere a mente! Anche se è un po' abstract nonsense

Dici? Purtoppo un esempio esplicito credo sia complicato da trovare. Tu che dici?

Penso anche io, la tua costruzione è relativamente "esplicita" (ma è una di quelle cose buffe con cui non si lavora granché)

Scusate se vi rompo ma leggendo questa discussione mi sono sorte alcune domande.

Delirium ha scritto:In dimensione infinita si possono apparentemente "costruire" Banach norme non equivalenti

Che c'entra?

Bremen000 ha scritto:Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti

Perché?

L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).

Come si vede questa cosa?

otta96 ha scritto:[...] Che c'entra? [...]

Se tutte le norme che rendono Banach \( X \) fossero equivalenti il problema sarebbe banale... e/ma a priori mica è ovvio (e infatti non lo è) che esistano due Banach norme non equivalenti per \(X\).

Ciao otta,

otta96 ha scritto:[...]

Bremen000 ha scritto:Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti

Perché?
[...]

Un'implicazione è evidente. Sia \( \| \cdot \|_3 = \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 \). Supponi che lo spazio \( (X, \| \cdot \|_3)\) sia di Banach. Sia
\[ f : ( X, \| \cdot \|_3 ) \to (X, \| \cdot \|_1) \quad \quad x \mapsto x \]

Allora f è una mappa lineare continua e suriettiva, infatti se \( x_n \to_3 y \in X \) allora \( x_n \to_1 y\). Allora l'inversa di $f$ è continua. Esiste quindi $C> 1 $ tale che \( \| \cdot \|_3 \le C \| \cdot \|_1 \) da cui \( \| \cdot \|_2 \le (C-1) \| \cdot \|_1 \).
Analogo con \( \| \cdot \|_2 \) al posto di \( \| \cdot \|_1 \).

otta96 ha scritto:[...]

L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).

Come si vede questa cosa?

Teorema
Sia $E$ uno spazio di Banach infinito dimensionale su un campo $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$ e sia $H$ una base di Hamel di $E$. Allora $|E|=|H|$.


Se due spazi hanno basi di Hamel della stessa cardinalità c'è una biiezione tra le basi. Estendi per linearità e hai il tuo isomorfismo di spazi vettoriali.

@otta, sei sparito. Ti torna tutto? Ho detto qualche castroneria?