Somma di norme

Messaggioda Bremen000 » 18/11/2018, 10:46

Probabilmente è un classicone, ma

Dimostrare o confutare la seguente affermazione:

Sia $X$ uno spazio lineare e siano \( \| \cdot \|_1 \) e \( \| \cdot \|_2 \) due norme su $X$ che lo rendono entrambe uno spazio di Banach. Allora \( (X , \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 ) \) è uno spazio di Banach.
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Re: Somma di norme

Messaggioda Delirium » 19/11/2018, 11:07

In dimensione finita e' ovviamente vero.

In dimensione infinita si possono apparentemente "costruire" Banach norme non equivalenti (modulo, mi pare di capire, assumere AC). Ma mi sembra un problema difficile; tu cosa avevi in mente?
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Re: Somma di norme

Messaggioda Bremen000 » 19/11/2018, 14:11

A me è stata un po' spiegata una soluzione che poi ho cercato un po' di aggiustare.

Il succo è trovare due spazi normati infinito dimensionali per i quali esista un isomorfismo di spazi vettoriali non continuo. Infatti, detti \( (X_1, \| \cdot \|_1) \) e \( (X_2 , \| \cdot \|_2 ) \) tali spazi e \( T: X_1 \to X_2 \) un tale un isomorfismo, considero gli spazi normati \( (X_1, \| \cdot \|_1) \) e \( (X_1, \| T ( \cdot ) \|_2 ) \), allora entrambi sono di Banach.
Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti, se l'isomorfismo non è continuo allora le due norme non sono equivalenti e dunque non è di Banach.

Un esempio può essere prendere \( (X_1, \| \cdot \|_1) = (l^1(\mathbb{N}), \|\cdot \|_{l^1}) \) e \( (X_2, \| \cdot \|_2) = (l^{\infty} (\mathbb{N}), \|\cdot \|_{l^{\infty}}) \). L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC). Il fatto che un tale isomorfismo non possa essere continuo è garantito dal fatto che uno è separabile e l'altro no.
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Re: Somma di norme

Messaggioda Delirium » 19/11/2018, 18:56

Interessante da tenere a mente! Anche se è un po' abstract nonsense :-D
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Re: Somma di norme

Messaggioda Bremen000 » 19/11/2018, 19:39

Dici? Purtoppo un esempio esplicito credo sia complicato da trovare. Tu che dici?
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Re: Somma di norme

Messaggioda Delirium » 19/11/2018, 23:01

Penso anche io, la tua costruzione è relativamente "esplicita" (ma è una di quelle cose buffe con cui non si lavora granché)
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Re: Somma di norme

Messaggioda otta96 » 19/11/2018, 23:08

Scusate se vi rompo ma leggendo questa discussione mi sono sorte alcune domande.

Che c'entra?

Bremen000 ha scritto:Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti

Perché?

L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).

Come si vede questa cosa?
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Re: Somma di norme

Messaggioda Delirium » 19/11/2018, 23:18

otta96 ha scritto:[...] Che c'entra? [...]

Se tutte le norme che rendono Banach \( X \) fossero equivalenti il problema sarebbe banale... e/ma a priori mica è ovvio (e infatti non lo è) che esistano due Banach norme non equivalenti per \(X\).
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Re: Somma di norme

Messaggioda Bremen000 » 19/11/2018, 23:56

Ciao otta,

otta96 ha scritto:[...]
Bremen000 ha scritto:Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti

Perché?
[...]


Un'implicazione è evidente. Sia \( \| \cdot \|_3 = \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 \). Supponi che lo spazio \( (X, \| \cdot \|_3)\) sia di Banach. Sia
\[ f : ( X, \| \cdot \|_3 ) \to (X, \| \cdot \|_1) \quad \quad x \mapsto x \]

Allora f è una mappa lineare continua e suriettiva, infatti se \( x_n \to_3 y \in X \) allora \( x_n \to_1 y\). Allora l'inversa di $f$ è continua. Esiste quindi $C> 1 $ tale che \( \| \cdot \|_3 \le C \| \cdot \|_1 \) da cui \( \| \cdot \|_2 \le (C-1) \| \cdot \|_1 \).
Analogo con \( \| \cdot \|_2 \) al posto di \( \| \cdot \|_1 \).


otta96 ha scritto:[...]
L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).

Come si vede questa cosa?


Teorema
Sia $E$ uno spazio di Banach infinito dimensionale su un campo $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$ e sia $H$ una base di Hamel di $E$. Allora $|E|=|H|$.


Se due spazi hanno basi di Hamel della stessa cardinalità c'è una biiezione tra le basi. Estendi per linearità e hai il tuo isomorfismo di spazi vettoriali.
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Re: Somma di norme

Messaggioda Bremen000 » 22/11/2018, 21:39

@otta, sei sparito. Ti torna tutto? Ho detto qualche castroneria?
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