Ciao otta,
otta96 ha scritto:[...]
Bremen000 ha scritto:Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti
Perché?
[...]
Un'implicazione è evidente. Sia \( \| \cdot \|_3 = \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 \). Supponi che lo spazio \( (X, \| \cdot \|_3)\) sia di Banach. Sia
\[ f : ( X, \| \cdot \|_3 ) \to (X, \| \cdot \|_1) \quad \quad x \mapsto x \]
Allora f è una mappa lineare continua e suriettiva, infatti se \( x_n \to_3 y \in X \) allora \( x_n \to_1 y\). Allora l'inversa di $f$ è continua. Esiste quindi $C> 1 $ tale che \( \| \cdot \|_3 \le C \| \cdot \|_1 \) da cui \( \| \cdot \|_2 \le (C-1) \| \cdot \|_1 \).
Analogo con \( \| \cdot \|_2 \) al posto di \( \| \cdot \|_1 \).
otta96 ha scritto:[...]
L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).
Come si vede questa cosa?
TeoremaSia $E$ uno spazio di Banach infinito dimensionale su un campo $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$ e sia $H$ una base di Hamel di $E$. Allora $|E|=|H|$.
Se due spazi hanno basi di Hamel della stessa cardinalità c'è una biiezione tra le basi. Estendi per linearità e hai il tuo isomorfismo di spazi vettoriali.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)