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Mostriamo che $\sigma(M_u)^c \sube \bar(u(\mathbb{R})^c)$, se $\lambda \in \sigma(M_u)^c $ allora $T_{\lambda}$ è invertibile in particolare essendo continuo e lineare esiste $m>0$ tale che
$||T_{\lambda}f|| \geq m||f||$
per ogni $f \in L^2(\mathbb{R})$.
Se per assurdo $\lambda \in \bar(u(\mathbb{R}))$ allora esistono $0<\varepsilon<m$ e $I \sub \mathbb{R}$ limitato tali che $|\lambda-u(x)| < \varepsilon$ per ogni $x \in I$ (per ipotesi di continuità su $u$), in particolare
$m||f||> \varepsilon ||f|| > ||T_{\lambda}f||$
con $f=\chi_{I}$, contro quanto detto prima.
Quindi $\sigma(M_u)^c \sube \bar(u(\mathbb{R})^c)$
$||T_{\lambda}f|| \geq m||f||$
per ogni $f \in L^2(\mathbb{R})$.
Se per assurdo $\lambda \in \bar(u(\mathbb{R}))$ allora esistono $0<\varepsilon<m$ e $I \sub \mathbb{R}$ limitato tali che $|\lambda-u(x)| < \varepsilon$ per ogni $x \in I$ (per ipotesi di continuità su $u$), in particolare
$m||f||> \varepsilon ||f|| > ||T_{\lambda}f||$
con $f=\chi_{I}$, contro quanto detto prima.
Quindi $\sigma(M_u)^c \sube \bar(u(\mathbb{R})^c)$
