Penso che si faccia così. Non è molto diverso da quello che si fa per spazi normati generici, se non ricordo male. Bello comunque, sarebbe da dare in uno scritto di analisi 2!
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Siano, per ogni $x \in I_a$, definite le mappe $T_x$ come
\[ T_x : [-b,b] \to \mathbb{R} \quad \quad y \mapsto F(x,y+y_0) \]
ora voglio restringere l'immagine di $T_x$ di modo che sia contenuta in \( [-b,b] \), dunque per ogni $x \in I_a$ e per ogni \( y \in [-b,b] \) si ha
\[ |T_x(y)| - |T_x(0)| \le ||T_x(y)| - |T_x(0)|| \le |T_x(y)-T_x(0)| = |F(x,y+y_0)-F(x,y_0)| \le k|y| \le kb \]
allora
\[ |T_x(y)| \le kb + |T_x(0)| = kb + |F(x,y0)|\]
Per la continuità di \( F \) esiste un $\delta >0$ tale che se \( |x-x_0| < \delta \) allora \( |F(x,y_0)| < (1-k)b \). Quindi ora posso, posto $s=\delta/2$, considerare per ogni \( x \in I_s:= [x_0-s, x_0+s] \) le mappe
\[ T_x : [-b,b] \to [-b,b] \quad \quad y \mapsto F(x,y+y_0) \]
Per Banach-Caccioppoli:
\[ \forall x \in I_s \, \exists ! \, y=y(x) \in [-b,b] \mid T_x(y) =F(x,y+y_0)=y \]
Siccome poi la coppia $(x,0)$ soddisfa \( F(x,y+y_0) = y \) (infatti \( F(x_0, y_0) = 0 \) ), allora $y(x_0)=0$.
E' dunque ben definita la funzione \( f: I_s \to I_b \) tale che \( f(x) = y(x) + y_0 \) e chiaramente per ogni \( x \in I_s \) si ha \( f(x) = y_0 + F(x,f(x)) \). In particolare vale \( f(x_0) = y_0 \).
Resta da mostrare che la funzione così costruita è continua. Prendiamo \( x_1, x_2 \in I_s \) e sia \( \epsilon >0 \) fissato:
\[ |f(x_1)-f(x_2) | = |F(x_1, f(x_1)) - F(x_2, f(x_2)) | \le \]
\[ \le |F(x_1, f(x_1) -F(x_1, f(x_2)) | + |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| \le \]
\[ \le k |f(x_1)-f(x_2)| + |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| \]
Siccome la mappa \( x \mapsto F(x,f(x_2) \) è continua per ogni \( x \in I_s \), esiste un \( \delta= \delta(\epsilon, x_2)>0 \) tale che se \( |x_1-x_2| < \delta \) allora \( |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| < (1-k) \epsilon \).
Allora se \( |x_1-x_2| < \delta \) si ha
\[ |f(x_1)-f(x_2) |(1-k) < (1-k) \epsilon \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2) | < \epsilon \]
e quindi $f$ è continua.