La spiegazione "moderna" la trovi
qui.
In pratica definita la zeta di Riemann come (*) \( \displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \) , questa serie converge quando la parte reale di $s$ è maggiore di $1$. Uno però può essere spiritoso e sostituire $s=-1$ ottenendo proprio la somma di tutti i numeri naturali. Osserva che formalmente \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n = \zeta(-1) \) non converge, cioè non ha senso calcolare \( \displaystyle \zeta(-1) \) .
Ci sono vantaggi però nel cercare le cosiddette "analytic continuation" (traducendo alla lettera, continuazioni analitiche) di una funzione definita non ovunque nel piano complesso. Risulta che c'è un'unica continuazione analitica di \( \displaystyle \zeta \) nella regione di piano complesso \( \displaystyle \mathbb{C}-\{1\} \) (cioè per $s ne 1$) e
per abuso di notazione questa continuazione analitica viene chiamata \( \displaystyle \zeta \) anch'essa. Osserva che si tratta di un'estensione della funzione definita sopra tramite la serie (*), una estensione che soddisfa tutte le ipotesi ragionevoli di regolarità.
Ma cos'è una continuazione analitica? Per capirci è come se io avessi una funzione $f(x)$ definita solo su un piccolo intervallo (o regione di piano: nel caso della zeta, la regione di piano è \( \displaystyle Re(s)>1 \) ), la scrivessi in forma di serie di potenze (usando l'espansione di Taylor) e poi accorgendomi che tale serie di potenze ha senso su tutto $RR$ (o addirittura $CC$) estendessi la funzione a tutto $RR$ appunto definendola tramite tale serie di potenze.
A questo punto uno può andare a calcolare \( \displaystyle \zeta(-1) \) (la continuazione analitica costruita a partire dalla serie (*), e valutata in $-1$) e scopre che vale \( \displaystyle -1/12 \) .