Logaritmo integrale

Salve a tutti,
vorrei un chiarimento riguardante il seguente ragionamento.
La funzione li(x) ha in ogni suo punto come gradiente 1/lnx. 1/lnx è anche la probabilità che un numero nelle vicinanze di x sia primo. Perché da questo consegue che, all'aumentare di x, Li(x) tende asintoticamente a x/lnx?

Salve a tutti,
vorrei un chiarimento riguardante il seguente ragionamento.
La funzione li(x) ha in ogni suo punto come gradiente 1/lnx. 1/lnx è anche la probabilità che un numero nelle vicinanze di x sia primo. Perché da questo consegue che, all'aumentare di x, Li(x) tende asintoticamente a x/lnx?

Il legame con la distribuzione dei primi è un teorema a parte, basta usare la definizione del logaritmo integrale...

Bisogna dimostrare che $\lim_{x -> +oo} (\text{Li}(x))/(x/ln(x))=1$: dopo aver verificato che è un limite del tipo $(oo)/(oo)$, puoi usare de l'Hopital:

$\lim_{x -> +oo} (\text{Li}(x))/(x/ln(x))=\lim_{x -> +oo} (1/ln(x))/((ln(x)-1)/(ln(x))^2)=\lim_{x -> +oo} (ln(x))/(ln(x)-1)=1$

Grazie!