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Salve l'esercizio è il seguente:

Sia \( K=\{ f\in C^1( [ 0, 1 ]):\ f(0)=0 \text{ e } |f^\prime (t) | \leq 1\}\).

1. Mostrare che $K$ è precompatto in \(C([0, 1])\);
   
   
2. Mostrare che per ogni $n\in \N$ esistono $4^n$ sfere di \(C([0,1])\) di raggio $1/n$ che ricoprono $K$.
   (Qui si suggerisce di centrare le sfere in opportune funzioni affini a tratti di pendenza $+-1$)

Il punto primo è una diretta applicazione di Ascoli-Arzela: le funzioni in $K$ risultano essere uniformemente lipschitziane e quindi $K$ è equicontinuo (uniformemente). Inoltre per il th fond del calcolo si ha che per ogni $f\in K$ : $f(x)=\int_{0}^{x} f^\prime (t)text(d) t$, da cui $-x\leq f(x)\leq x$ e al variare di $f\in K$ si ha che $\abs{f(x)}$ è limitato da una costante indipendente da $f$, e quindi il quesito 1 è verificato.

Per il quesito due, non riesco a venirne a capo, qualcuno ha dei suggerimenti?

Secondo me le sfere sono solo \(2^n\). Per \(n=1\) esse sono centrate nelle funzioni \(\pm x\). Per \(n=2\), a \(\pm x\) vanno aggiunte le due funzioni
\[
\pm\begin{cases}
x, & x\in [0, 1/2], \\
1-x & x\in [1/2, 1], \end{cases}
\]
eccetera. A ogni passo se ne aggiungono due. Ma può darsi che mi sbagli, questo è solo un "educated guess".

Grazie della risposta!

Anche io avevo notato che per $n=1$ bastavano le 2 sfere centrate nelle funzioni $+-x$ (notato, ma non ancora dimostrato formalmente).
E per $n=2$ avrei preso esattamente le bisettrici e quei due "triangolini" che hai detto tu.

Vero che le sfere sono $2^n$, direi che vale anche l'enunciato dell'esercizio essendo questo più debole.

Pensavo di non vedere qualcosa di "palese", dato che mi pare strano che alla Sissa enuncino un esercizio in tal modo

Si comunque non è detto eh. Mi pare che ne bastino 2^n, ma è solo perché mi sono fermato ai primi due valori di \(n\). Magari quando \(n\) cresce succede qualcosa di bislacco e bisogna aumentare il numero delle sfere. L'unico modo per stabilirlo è scrivere una dimostrazione.