Esercizio del test scritto SISSA: ricoprimento di uno spazio di funzioni continue
Inviato: 12/03/2019, 10:34
Salve l'esercizio è il seguente:
Sia \( K=\{ f\in C^1( [ 0, 1 ]):\ f(0)=0 \text{ e } |f^\prime (t) | \leq 1\}\).
Il punto primo è una diretta applicazione di Ascoli-Arzela: le funzioni in $K$ risultano essere uniformemente lipschitziane e quindi $K$ è equicontinuo (uniformemente). Inoltre per il th fond del calcolo si ha che per ogni $f\in K$ : $f(x)=\int_{0}^{x} f^\prime (t)text(d) t$, da cui $-x\leq f(x)\leq x$ e al variare di $f\in K$ si ha che $\abs{f(x)}$ è limitato da una costante indipendente da $f$, e quindi il quesito 1 è verificato.
Per il quesito due, non riesco a venirne a capo, qualcuno ha dei suggerimenti?
Sia \( K=\{ f\in C^1( [ 0, 1 ]):\ f(0)=0 \text{ e } |f^\prime (t) | \leq 1\}\).
- Mostrare che $K$ è precompatto in \(C([0, 1])\);
- Mostrare che per ogni $n\in \N$ esistono $4^n$ sfere di \(C([0,1])\) di raggio $1/n$ che ricoprono $K$.
(Qui si suggerisce di centrare le sfere in opportune funzioni affini a tratti di pendenza $+-1$)
Il punto primo è una diretta applicazione di Ascoli-Arzela: le funzioni in $K$ risultano essere uniformemente lipschitziane e quindi $K$ è equicontinuo (uniformemente). Inoltre per il th fond del calcolo si ha che per ogni $f\in K$ : $f(x)=\int_{0}^{x} f^\prime (t)text(d) t$, da cui $-x\leq f(x)\leq x$ e al variare di $f\in K$ si ha che $\abs{f(x)}$ è limitato da una costante indipendente da $f$, e quindi il quesito 1 è verificato.
Per il quesito due, non riesco a venirne a capo, qualcuno ha dei suggerimenti?