media su tutti i differenti delta x

Messaggioda braggermat » 26/03/2019, 19:05

So che il titolo è poca roba ma cerco di essere più preciso l'obiettivo è capire il perché della seguente uguaglianza:
$n(t+\Delta t, x)=<n(t,x-\Delta x)> =n(t,x)- \frac(\delta n)( \delta x)<\Delta x>+0.5 \frac(\delta^2 n)( \delta x^2)<\Delta x^2>+...$

In particolare la terza parte, so che dovrebbe essere una cosa triviale, ma quel segno meno mi confonde un po';
sul testo dice possiamo scrivere un'espressione per la densità al tempo $t+ \Delta t$ come la media su tutti i differenti $\Delta x$.
Per completezza vi posto la fonte:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html ----> 1. Things Bumping Into Other Things -----> pagina del documento: 6.
Grazie a tutti
braggermat
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Re: media su tutti i differenti delta x

Messaggioda gugo82 » 28/03/2019, 21:38

Semplicemente è la formula di Taylor più la linearità della media.

Infatti, la formula di Taylor ti fornisce (con $(t,x)$ fissato e l'incremento $Delta x$ variabile):
\[
n(t,x - \Delta x) = n(t,x) - \frac{\partial n}{\partial x}(t,x)\ \Delta x + \frac{1}{2}\ \frac{\partial^2 n}{\partial x^2}(t,x)\ (\Delta x)^2 - \frac{1}{6}\ \frac{\partial^3 n}{\partial x^3}(t,x)\ (\Delta x)^3+ \cdots + \frac{(-1)^k}{k!}\ \frac{\partial^k n}{\partial x^k}(t,x)\ (\Delta x)^k +\cdots
\]
e dunque:
\[
\langle n(t,x - \Delta x) \rangle = n(t,x) - \frac{\partial n}{\partial x}(t,x)\ \langle \Delta x\rangle + \frac{1}{2}\ \frac{\partial^2 n}{\partial x^2}(t,x)\ \langle (\Delta x)^2\rangle - \frac{1}{6}\ \frac{\partial^3 n}{\partial x^3}(t,x)\ \langle (\Delta x)^3 \rangle + \cdots + \frac{(-1)^k}{k!}\ \frac{\partial^k n}{\partial x^k}(t,x)\ \langle (\Delta x)^k \rangle + \cdots
\]
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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