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Re: Esercizio SISSA 2015

08/04/2019, 23:30

Bokonon ha scritto:Come al solito sono terra terra, specie a quest'ora. Ma se una funzione (così definita) converge a $+oo$ può solo ammettere un asintoto orizzontale. Se non ci fosse non convergerebbe (così come la derivata). E se fosse obliquio, non convergerebbe (però la derivata convergerebbe). Non vedo altre opzioni per il punto a).
Dove sbaglio?

P.S. Nella mia visione (fanciullesca) di asintoto includo anche le funzioni periodiche. Le "vedo" (in valore assoluto) come una pallina sottoposta a gravità che rimbalza per sempre su una superficie senza attrito :D

Il punto sta proprio nel controesempio di OP, quella funzione si schiaccia a \(0\) ma lo fa oscillando... e le oscillazioni, purché sempre più smorzate, "danno adito" ad un comportamento definitivamente oscillatorio anche della derivata.

Re: Esercizio SISSA 2015

08/04/2019, 23:53

obnoxious ha scritto:Il punto sta proprio nel controesempio di OP, quella funzione si schiaccia a \(0\) ma lo fa oscillando... e le oscillazioni, purché sempre più smorzate, "danno adito" ad un comportamento definitivamente oscillatorio anche della derivata.

Lo so :)
Ma anche senza scomodare tanta teoria e in modo barbaro (perchè questo io sono :) ) usare il valore assoluto non è un'idea campata per aria per comprendere perchè comunque converga. E' presa pari dalle serie e dal concetto di convergenza assoluta: gli integrali sono sommatorie e guarda a caso di cosa? :)
Anche intuitivamente si capisce che sono automaticamente vere entrambe le affermazioni.
Ho un modo molto fanciullesco di visualizzare i concetti, ma regge quando si passa al formalismo...deve farlo.

Re: Esercizio SISSA 2015

09/04/2019, 09:04

Ma ci sono delle differenze. Se \(\sum a_n\) converge, allora \(a_n\to 0\); invece, se
\[
\int_c^\infty f(x)\, dx
\]
converge, non è detto che \(f(x)\to 0\). In ogni caso, non capisco cosa c'entri con questo topic. Mi sa che il mio intervento precedente (quello con la formula \(f(x)=L-\int_x^\infty f'(y)\, dy\)) ha portato fuori strada.

Re: Esercizio SISSA 2015

09/04/2019, 14:48

Ok, era per parlare! Un modo più semplice per ricondurci all'asintoto orizzontale anche con la classe di funzioni periodiche, forse è notare che se convergono allora per devono per forza avere due "gendarmi" $g(x)$ e $-g(x)$. Quindi si può considerare uno dei due $g(x)$ per riportarci al caso "standard".
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