Ciao a tutti! Vi propongo un esercizio per l'ammissione alla SISSA.
Si definiscano per $x>0$ le funzioni
$$f_n(x) := \prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}.$$
(a) Si dimostri che la funzione
$$f(x) := \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)$$
è ben definita per $x>0$. Si calcoli inoltre il suo valore in $1$.
(b) Si studi la funzione $f(x)$ e si diano i comportamenti asintotici per $x\rightarrow0^+$ e $x\rightarrow+infty$.
(c) Si mostri che si ha l’equivalenza
$$
f(x)=e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(−1)^n}{(x + n)n!}$$
dove $e$ è il numero di Nepero. ($e=\sum_{n=0}^{+\infty}1/{n!}$).
Ho risolto i primi due punti, mentre per il terzo sto riscontrando dei problemi.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
(a) Fissato $x>0$ si ha che $f_n(x)>0$ per ogni $n\ge0$ e ciò implica che la serie $f(x)$ è a termini positivi.
Si ha che $f_n(x)=1/x\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}\le1/x(1/{x+1})^n$. (con abuso di notazione per n=0)
Allora $f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)\le1/x\sum_{n=0}^{+\infty}(1/{x+1})^n=1/x 1/{1-1/{x+1}}={x+1}/x^2$
Dunque la funzione $f(x)$ è ben definita qualsiasi $x>0$.
Osserviamo che $f_n(1)=1/{(n+1)!}$. Allora
$$f(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}=e$$
Per ricavare l'ultima equivalenza basta giocare un po' con gli indici.
(b) Immediatamente si riesce a mostrare che la funzione è strettamente decrescente nel suo dominio $(0,+\infty)$.
Per ogni $x>0$ abbiamo visto che $f(x)\le{x+1}/x^2$, e quindi facendo tendere $x\rightarrow+\infty$ si ha per il teorema del confronto che $lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$, essendo la funzione $f(x)$ positiva.
Osserviamo che per ogni $x>0$ si ha che $f(x)\ge f_0(x)=1/x$, e quest'ultima funzione tende a $+\infty$ per $x\rightarrow0^+$, ragion per cui anche $lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=+\infty$.
Riguardo al terzo punto non sono riuscito a far nulla praticamente, e non ho molte idee. Ho pensato un momento alla funzione $\Gamma$, vista come la generalizzazione del fattoriale e cercando un po' online (
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_Gamma "Espressioni alternative") ho trovato un'interessante analogia tra il risultato da dimostrare, ma non sono riuscito comunque ad usare questo risultato (né a dimostrarlo).
Se qualcuno avesse dei buoni consigli sono ben accetti! Buona giornata a tutti!