Questo esercizio è un risultato di Zygmund ed è, storicamente, una delle prime applicazioni di metodi probabilistici in analisi.
Esercizio. Sia \(f\in L^2(0, 2\pi)\) una funzione descritta dalla serie di Fourier
\[\tag{1}
f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{inx};\]
ovvero tale che
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2<\infty.\]
Sia \(\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb Z}\) la successione di variabili aleatorie che assumono il valore \(+1\) oppure \(-1\) con probabilità \(1/2\). Supponiamo che tali variabili aleatorie siano indipendenti. Consideriamo la funzione
\[
u(\omega, x):=\sum_{n=-\infty}^\infty \epsilon_n(\omega) a_n e^{inx}.\]
Dimostrare che \(u(\omega, \cdot)\in L^4(0, 2\pi)\) quasi sicuramente (ovvero, per quasi ogni \(\omega\)).
Suggerimento:
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Dimostrare che il valore atteso
\[
\mathbb E\left( \int_0^{2\pi} |u(\omega, x)|^4\, dx\right)
\]
è finito: ciò implica immediatamente che \(\int_0^{2\pi} |u(\omega, x)|^4\, dx\) deve essere finito per quasi ogni \(\omega\).
Nota: con un minimo di sforzo ulteriore si può dimostrare che \(u(\omega, \cdot)\in L^{2k}\) per ogni \(k\in\mathbb N\), e quindi che \(u\in L^p\) per ogni \(p\in [1, \infty)\), quasi sicuramente. Ovvero, cambiando a casaccio i segni dei coefficienti di Fourier nella somma (1), quasi sicuramente si verificheranno in tale somma delle cancellazioni, tali da aumentare l'ordine di integrabilità della funzione tanto quanto si vuole.
Motivazione. Questo esercizio risponde, negativamente, alla domanda: è possibile determinare l'appartenenza di \(f\) alla classe \(L^p\), per \(p\ne 2\), conoscendo solo i moduli \(|a_n|\) dei coefficienti di Fourier?