SISSA 2010 problema sui compatti e funzioni continue.
Inviato: 10/06/2019, 14:28
Ciao a tutti ragazzi. Vi propongo questo problema dell'ammissione per la SISSA.
Sia $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua, e $\{K_i\}$ una famiglia numerabile di compatti tale che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.
(i) Si mostri che
$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)=\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$
(ii) Si dia un controesempio al Punto (i) nel caso che $\{K_i\}$ sia una famiglia numerabile non necessariamente compatti tali che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.
Vi lascio nascoste le mie idee.
Sia $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua, e $\{K_i\}$ una famiglia numerabile di compatti tale che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.
(i) Si mostri che
$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)=\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$
(ii) Si dia un controesempio al Punto (i) nel caso che $\{K_i\}$ sia una famiglia numerabile non necessariamente compatti tali che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.
Vi lascio nascoste le mie idee.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
(i) Per mostrare la prima parte pensavo di usare una doppia inclusione. La prima da sinistra verso destra è abbastanza scontata: sia $x\in\cap_{i=1}^{\infty}K_i$, allora avrò che $x_i\in K_i$ per ogni $i\in\mathbb{N}$. Si ha che $f(x)\in f(K_i)$ per ogni $i\in\mathbb{N}$. Allora segue da ciò che
$$f(x)\in\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$
e quindi
$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)\subset\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i)$$.
La seconda implicazione non ho finito di risolverla, vi lascio ciò che ho provato a fare:
sia $y\in\cap_{i=1}^{\infty}f(K_i)$, allora $y\in f(K_i)$ per ogni $i\ge1$. Questo vuol dire che esiste $x_i\in K_i$ tale che $y=f(x_i)$ per ogni $i\ge1$. Inoltre poiché la successione degli insiemi $K_i$ è "decrescente avrò che" $x_i\in K_j$ per $j=1,\cdots, i$. Ho così costruito una successione ${x_i}$ con le proprietà descritte sopra. Ciò che mi manca è far vedere che tale successione converga (basta che abbia un'estratta convergente, da qui l'ipotesi della compattezza) ad un elemente $x\in\cap_{i=1}^{\infty}K_i$. Se così fosse per continuità avrei $y=f(x)$ poiché $f(x_i)\rightarrow f(x)$.
Qualcuno sa come completare questa parte?
Il secondo punto ho fornito questo controesempio. Sia $k_i=(0,1/i)$ per $i\ge1$ (questa successione ha le proprietà richieste). Sia $f$ una funzione costante, ad esempio $f(x)=1$ per ogni $x\in[0,1]$.
Ovviamente la differenza con il primo punto è chiara: nel secondo caso per ogni $i$ esiste $x_i$ con le proprietà prima descritte, ma venuta meno la compattezza, non ho convergenza essendo l'intersezione dei $K_i$ vuota.
Non riesco a formalizzare il punto (i) detto sopra. Fatemi sapere.
$$f(x)\in\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$
e quindi
$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)\subset\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i)$$.
La seconda implicazione non ho finito di risolverla, vi lascio ciò che ho provato a fare:
sia $y\in\cap_{i=1}^{\infty}f(K_i)$, allora $y\in f(K_i)$ per ogni $i\ge1$. Questo vuol dire che esiste $x_i\in K_i$ tale che $y=f(x_i)$ per ogni $i\ge1$. Inoltre poiché la successione degli insiemi $K_i$ è "decrescente avrò che" $x_i\in K_j$ per $j=1,\cdots, i$. Ho così costruito una successione ${x_i}$ con le proprietà descritte sopra. Ciò che mi manca è far vedere che tale successione converga (basta che abbia un'estratta convergente, da qui l'ipotesi della compattezza) ad un elemente $x\in\cap_{i=1}^{\infty}K_i$. Se così fosse per continuità avrei $y=f(x)$ poiché $f(x_i)\rightarrow f(x)$.
Qualcuno sa come completare questa parte?
Il secondo punto ho fornito questo controesempio. Sia $k_i=(0,1/i)$ per $i\ge1$ (questa successione ha le proprietà richieste). Sia $f$ una funzione costante, ad esempio $f(x)=1$ per ogni $x\in[0,1]$.
Ovviamente la differenza con il primo punto è chiara: nel secondo caso per ogni $i$ esiste $x_i$ con le proprietà prima descritte, ma venuta meno la compattezza, non ho convergenza essendo l'intersezione dei $K_i$ vuota.
Non riesco a formalizzare il punto (i) detto sopra. Fatemi sapere.