Estensioni e cocompletamenti liberi

Messaggioda caulacau » 11/06/2019, 12:03

Mi sono accorto che c'è gente che non sa questa cosa. Dimostràtela.

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Let \(\mathcal{C}\) be a small category, \(\mathcal{A}\) a cocomplete category; then, precomposition with the Yoneda embedding \(y_{\mathcal{C}} : \mathcal{C} \to \widehat{\mathcal{C}}\) determines a functor
\[\textsf{Cat}(\widehat{\mathcal{C}}, \mathcal{A})\xrightarrow{\_\circ y_{\mathcal{C}}} \textsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{A}).\]
  • The universal property of the category \(\widehat{\mathcal{C}}\) amounts to the existence of a left adjoint \(L_y\) to the above functor, that has invertible unit (so, the left adjoint is fully faithful).
This means that \(\textsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) is a full subcategory of \(\textsf{Cat}(\widehat{\mathcal{C}}, \mathcal{A})\).
  • The essential image of \(L_y\) consists of those \(F : \widehat{\mathcal{C}} \to \mathcal{A}\) that preserve all colimits.
  • If \(\mathcal{A} = \widehat{\mathcal{D}}\), this essential image is equivalent to the subcategory of left adjoints \(F : \widehat{\mathcal{C}} \to \widehat{\mathcal{D}}\).
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Re: Estensioni e cocompletamenti liberi

Messaggioda Indrjo Dedej » 27/06/2019, 18:45

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Mi chiedo come mai siano deserte queste discussioni... In Italia la teoria delle categorie fa paura? Oppure è una cosa generale? Leggo che piano piano questa teoria sta prendendo piede... Forse troppo piano? O quelli che credono ciò ci credono perché sono loro? Perché? C'è un problema di comunicazione? Forse sì. Il problema è serio. Come si può ovviare? È inutile allo stato attuale dell'arte sperare che qualcuno sorga dagli abbissi e risolva questo tipo di esercizi... Come si può fare? Forse cominciare da zero: aprire delle discussioni, partire dalle cose più semplici, mostrare la potenza di questo linguaggio e di questa parte della logica? Non so come si possa mettere in piedi questa cosa... Poi questo caldo non aiuta... Poi prendimi a malo modo, ma si potrebbe azzardare.
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Re: Estensioni e cocompletamenti liberi

Messaggioda caulacau » 27/06/2019, 20:30

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