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Esercizio su endomorfismi. (SISSA)

17/06/2019, 00:22

Ciao ragazzi, vi propongo questo esercizio dell'esame di ammissione alla SISSA (2014).

a) Sia $f:V\rightarrow V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita e $W$ un
sottospazio di $V$ tale che $f(W)\subsetW$. Se $f$ è triangolarizzabile, dimostrare che anche la
sua restrizione $f|W:W\rightarrow W$ è triangolarizzabile.
b) Siano $f, g : V\rightarrow V$ automorfismi unitari di uno spazio unitario $V$ di dimensione finita che
commutano. Dimostrare che esiste una base ortonormale di $V$ che consiste di autovettori
comuni di $f$ e di $g$.

Purtroppo non ho idee al riguardo, quindi accetterei dei suggerimenti su come iniziare a risolvere.
Riguardo al secondo non mi è chiaro ciò che chiede: secondo voi si deve dimostrare che $f$ e $g$ sono simultaneamente diagonalizzabili?
In tal caso ho trovato questo https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=123944, ma non completa la dimostrazione nel caso in cui un autovalore non abbia molteplicità uno.

Grazie a chi mi risponderà!

Re: Esercizio su endomorfismi. (SISSA)

17/06/2019, 01:13

Nel primo credo ci sia un errore nell'esposizione del problema.

Per quanto riguarda il secondo, provo ad aiutarti a chiarire la richiesta del problema.
Automorfismo unitario = trasformazione che lascia inalterata l'intera struttura dello spazio vettoriale di partenza, incluse le distanze. Ovvero una rotazione (che infatti commuta).
Spazio unitario significa che siamo in uno spazio vettoriale euclideo complesso.
Le rotazioni in campo complesso sono matrici unitarie --> https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_unitaria

Re: Esercizio su endomorfismi. (SISSA)

17/06/2019, 01:23

Ciao Bokonon, quello che mi dici mi era già abbastanza chiaro... il problema è che non so come procedere. Cercando online ho trovato qualcosa (Due matrice diagonalizzabili commutano se e solo se sono simultaneamente diagonalizzabili). Mi domandavo se l'ipotesi che la matrici siano unitarie serve a dirmi che tali sono diagonalizzabili (ma di questo non ne sono affatto sicuro, anzi) oppure è un ipotesi che serve per "agevolare" i calcoli.

Nel primo esercizio cosa credi ci sia di sbagliato?

Re: Esercizio su endomorfismi. (SISSA)

17/06/2019, 01:28

Nel primo esercizio definisci un'applicazione da V in V e poi compare all'improvviso W...

Le matrici unitarie sono sempre diagonalizzabili...siamo in campo complesso non reale.
Ti ho messo pure il link così ti rinfreschi le proprietà di queste matrici.

Re: Esercizio su endomorfismi. (SISSA)

18/06/2019, 12:01

Ragazzi alla fine sono riuscito a formulare una soluzione del primo punto.
Consideriamo $\{e_1,\ldots,e_k\}$ base di $W$. Completiamo la base con $\{e_{k+1},\ldots,e_n\}$. La matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base $E=\{\e_1,\ldots,\e_n}$, che chiameremo $M_E(f),$ avrà la seguente forma:

\begin{pmatrix} a_{1,1} &\ldots &a_{1,k} &a_{1,k+1} &\ldots &a_{1,n} \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\
a_{k,1} &\ldots &a_{k,k} &a_{k,k+1} &\ldots &a_{k,n}\\
0 &\ldots &0 &a_{k+1,k+1} &\ldots &a_{k+1,n} \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\
0 &\ldots &0 &a_{n,k} &\ldots & a_{n,n} \\

\end{pmatrix}

Infatti supponiamo per assurdo ci fosse un elemento $a_{i,j}\ne$ con $k+1\le i\le n,\le j\le k$. Sia $e_j$ il $j$_esimo elemento della base di $W$. Si avrebbe che $f(e_j)=M_E(f)e_j=(a_{1,j},\ldots,a_{k,j},0,\ldots,a_{i,j},\ldots,0)$. Avrei che $f(e_j)\notin W$, il che è assurdo poiché $e_j\in W$ e per ipotesi $f(W)\subset W$.

Possiamo scrivere $M_E(f)$ in forma compatta come:
\begin{pmatrix} M_W &A \\
0 &B \\

\end{pmatrix}

Segue che il polinomio caratteristico di $f$ sarà $P_{f} (\lambda)=\det(M_W-\lambda I_k)\det(B-\lambda I_{n-k})=P_{1}(\lambda)P_{2}(\lambda)$.
Poiché $P_{f} (\lambda)$ ha le sue radice nel campo $K$ anche $P_{1}(\lambda)$ avrà le sue radice nel campo $K$.
La restrizione di $f$ a $W$ può essere rappresentata da $M_W$ rispetto alla base $\{e_1,\ldots,e_k\}$. Inoltre il suo polinomio caratteristico è esattamente $P_{1}(\lambda)$ e ciò mostra che $f|W$ è triangolarizzabile.
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