\[
\frac{d^k f}{dx^k}(x) \ge 0, \qquad \forall x>0,\ \forall k\ge 1,\]
si dice assolutamente monotona.
Esempi. \(f(x)=e^{ax}\) e \(f(x)=x^a\), per \(a\ge 0\), sono funzioni assolutamente monotone.
Domanda. Esiste una funzione assolutamente monotona e tale che \(f(x)=0\) per ogni \(x<1\)? A parte quella banale \(f=0\), naturalmente.
Suggerimento: varianti della funzione \(e^{-\frac1{x^2}}\) non vanno bene, perché non sono assolutamente monotone.
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Questa domanda mi è stata posta da Christoph Thiele. Lì per lì non ho saputo rispondere e la risposta mi è sembrata sorprendente.