Matematicamente.it

Inviato: **09/10/2019, 22:46**

Esercizio. Sia $ \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) $ l'insieme delle matrici $ 2 \times 2$ ad entrate reali (per esempio con la norma di Frobenius). Si consideri la mappa $ f : \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \to \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) $ definita da $ X \mapsto X + X^2 $. Mostrare che $ f(\mathbb{M}_2 (\mathbb{R})) $ contiene una palla di centro l'origine.

Inviato: **10/10/2019, 23:04**

Non basta dire che...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

... $Df$ ha determinante non nullo in $0$?

Inviato: **11/10/2019, 13:18**

Si', ma perche'?

Inviato: **15/10/2019, 12:02**

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Perché i coefficienti di $X^2$ sono polinomi omogenei di secondo grado, quindi le loro derivate parziali sono o $0$ o dei polinomi omogenei di primo grado, che valutati nell'origine danno $0$, perciò il termine $X^2$ non influisce su $Df|_0$, mentre dal termine $X$ si ottiene chiaramente la matrice identità.

Inviato: **15/10/2019, 13:24**

Si' ok, ma volevo che mi giustificassi meglio l'implicazione $ D f (0,0) $ invertibile $ \Longrightarrow f (\mathbb{R}^2) $ contiene un intorno di $ (0,0)$.

Inviato: **16/10/2019, 23:14**

Beh, è l'enunciato del teorema della funzione inversa, che davo per buono (anche perché non mi ricordo come si dimostra :roll:

)

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L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

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Re: L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

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