L'unico anello

[spugna]

Fissato un numero primo $p$, sia $A$ un anello di cardinalità $p^3$ non commutativo e con unità. Dimostrare che $A$ è isomorfo all'anello delle matrici $2×2$ triangolari superiori a coefficienti in $ZZ\text{/}pZZ$.

[j18eos]

L'esistenza di un tale anello, è abbastanza facile!

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Il gruppo (abeliano) \(\displaystyle(A,+)\) deve contenere una copia (isomorfa) di \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\); quindi utilizzando l'operazione di prodotto \(\displaystyle\cdot\), si ha che \(\displaystyle(A,+;\mathbb{Z}_p,\cdot)\) è uno spazio vettoriale (sinistro) di dimensione \(\displaystyle3\), poiché esso è di cardinalità \(\displaystyle p^3\).

Trattandosi quindi di un'algebra unitaria non commutativa, si ha appunto che \(\displaystyle A\) può essere l'algebra delle matrici triangolari superiori \(\displaystyle2\times2\).

Per adesso mi manca l'unicità... e forse ho un'idea.

[spugna]

Avevo anch'io un'idea carina (anche se credo sia un approccio abbastanza standard), ma non sono riuscito a portarla avanti, la lascio come hint nel caso qualcuno volesse provarci... al momento l'unica soluzione che conosco non è molto elegante, ho proposto il problema anche per vedere se si può fare di meglio

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Per ogni $x \in A$, la moltiplicazione a sinistra $\mu_x$ è un endomorfismo di $A$ come spazio vettoriale su $\mathbb{F}_p$, e la funzione da $A$ a $\text{End}(A)$ che manda $x$ in $\mu_x$ è un morfismo iniettivo di anelli, quindi $A$ è isomorfo a un sottoanello delle matrici $3 \times 3$ a coefficienti in $\mathbb{F}_p$...