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Inviato: **20/12/2019, 15:24**

Mostrare che se $p$ è un primo, $m,n$ sono interi positivi e $p^m=2^n-1$ allora $m=1$, cioè $p^m=p$ è un primo di Mersenne. In altre parole se un numero di Mersenne è una potenza di un primo allora è un primo!

Inviato: **20/01/2020, 20:35**

Questo problema è molto carino ma vedo che è rimasto senza risposte. Potresti dare un suggerimento?

Inviato: **21/01/2020, 02:16**

Innanzitutto mostrare che $m$ è dispari.

Poi scrivere $2^n=p^m+1=$...

Inviato: **21/01/2020, 21:10**

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se m è dispari, si ha

$2^n=p^m+1=(p+1)(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$

Non può essere $p=2$, in quanto $3$ non divide $2^n$. Se $p!=2$, $p$ è dispari; in tal caso, il fattore $(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$ è dispari,poichè somma algebrica un numero dispari$(m)$ di addendi dispari, e poichè divide $2^n$, dev'essere una potenza di $2$. Può quindi risultare soltanto:

$p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1=1$,

per cui $2^n=p+1=>p=2^n-1=p^m$

Inviato: **21/01/2020, 21:15**

@mario: mi piace, ma il prodotto di un numero pari per un numero dispari è pari, per esempio $2\cdot 3$ è pari.

Inviato: **21/01/2020, 21:36**

Hai ragione @dissonance, ho preso una svista :shock:

... .Ho scritto prodotto di pari per un dispari, e ho pensato al prodotto di due dispari :lol:

. Correggo subito. Purtroppo, per ora, non ho la soluzione per $m$ pari.

Inviato: **21/01/2020, 22:03**

mario9555 ha scritto:Purtroppo, per ora, non ho la soluzione per $m$ pari.

Questa è la parte facile :lol:

prova a ridurre modulo ...

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Potenza di primo di Mersenne

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Re: Potenza di primo di Mersenne

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