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Sia dato il pentagono ciclico $ABCDE$ e sia $AD=R$ un diametro del cerchio circoscritto.
Poniamo $a=AB, b=BC, c=CD, d=DE, e=EA$ e $u=BD, v=AC$.
Inoltre si suppone che i lati $a, b, c, d, e$ del pentagono siano razionali.

Da ciò si deduce che i triangoli $ABD, ACD, AED$ sono rettangoli e quindi sarà $R^2=a^2+u^2=c^2+v^2=e^2+d^2$
Ne consegue che $R^2, u^2, v^2$ sono razionali.
Ora, dati che il quadrilatero $ABCD$ è ciclico vale $u*v=a*c+b*R$
Elevando al quadrato si ha $(u*v)^2=(a*c+b*R)^2$ da cui $u^2*v^2=a^2c^2+b^2R^2+2abcR$
Da quest'ultima ricavo il diametro: $R=(a^2c^2+b^2R^2-u^2*v^2)/(2abc)$
Dato che il membro di destra di questa uguaglianza è razionale anche quello di sinistra lo sarà ovvero $R$ è razionale.

Dal punto di vista puramente stilistico , a parte la scelta di "R" per indicare il diametro, sostituendo le espressioni per $ u^2 $ e $v^2 $ si ottiene immediatamente una sorta di 'estensione' del teorema di Pitagora:
$ R^3-(a^2+b^2+c^2)R-2abc=0 $ (che diventa il teorema di Pitagora quando uno fra i valori di $ a,b,c$ vale $0$).
Confrontando con $ R^2=d^2+e^2 $ si arriva a $ (e^2+d^2-c^2-b^2-a^2)R=2abc$