Indico con $p(k,n)$ la proabilità che ci siano $k$ match quando ci sono $n$ palloncini totali.
Se viene dato un numero $n$ iniziale di palloncini allora ogni particolare configurazione avrà probabilità $1/(n!)$ di essere sorteggiata, quindi se serco la probabilità di $k$ match sarà in generale:
$p(k)= 1/(n!)( (n), (k) ) M(0,n-k) $
dove con $M(0,n)$ indico in quanti modi possono risultare 0 match con n palloncini in totale.
scrivendo esplicitamente il binomiale si ha che:
$p(k,n)= 1/(n!) (n!)/((k!)(n-k!)) M(0,n-k)= 1/(k!) p(0,n-k)$
da cui si può ricavare la fondamentale relazione:
$p(k-1,n)= k p(k,n+1)$.
A questo si accompagna la relazione: $p(0,0)-= 1$ che permette di risolvere univocamente il problema.
1) Il valore atteso è:
$E[X_n]=sum_(k=0)^ n kp(k,n)= sum_(k=1)^ n kp(k,n)=sum_(k=1)^ n p(k-1,n-1)=sum_(t=0)^ (n-1) p(t,n-1)=1$ dato che l'ultima sommatoria è semplicemente la somma di tutte le probabilità che è 1.
2) si ha che:
$P(0,n)=1-sum_(k=1)^n p(k,n)= 1-sum_(k=1)^ n 1/(k!) p(0,n-k)$
Non so se il problema chieda di esprimere $p(0,n)$ analiticamente (se è possibile farlo) in ogni caso non ci sono riuscito purtroppo
.
3)
Vedendo il punto 2 si nota che mano a mano che gli n crescono, all'avvicinarsi al limite $L$ (che suppongo esista) allora i valori con n piccolo, lontani dal limite, verrano mano a mano soppressi ( hanno valori vicini a n! al denominatore). Quindi partendo da:
$P(0,n)=1-sum_(k=1)^ n (p(0,n-k))/(k!)$
si può scrivere che
$L=1-sum_(k=1)^ n L/(k!) + epsilon (n)$
dove con $epsilon$ si indica l'errore che si sta commettendo trascurando i valori delle probabilità diversi dal valore limite, inoltre si ha $lim_(n ->+oo) epsilon (n)=0$
perciò
$L=(1)/(1+sum_(k=1)^(+oo) 1/(k!))= (1)/(1+(e-1))= 1/e$