Punti isolati

Messaggioda Livius » 11/02/2020, 00:44

Sia $ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ una funzione continua e consideriamo $ F_a =\{ x \in \mathbb{R}^n$ : $x=f^k(a)$, $n \in \mathbb{N} \}$, $a \in \mathbb{R}^n$ fissato e $ f^0 (a)=a$, $f^{k+1}(a)=f(f^k(a))$ per ogni $k \in \mathbb{N} $.

Domanda: nell’ ipotesi che $F_a$ sia infinito, è vero che i punti di $F_a$ sono punti isolati?
Ultima modifica di Livius il 17/02/2020, 19:42, modificato 1 volta in totale.
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Re: Punti isolati

Messaggioda Livius » 11/02/2020, 16:01

Scusate ma non vorrei darvi l'impressione di saperlo risolvere, infatti non è così,magari !!..... vorrei sapere, se possibile, "semplicemente" se la cosa è vera o no, o cosa ne pensate
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Re: Punti isolati

Messaggioda Overflow94 » 11/02/2020, 21:28

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Definiamo $a_n = f^n(a) $ e supponiamo che esista finito il limite $ a_n->a^** $ , allora:

$ lim_(n -> infty) a_n=a^** => lim_(n -> infty) f(a_n)=a^** => lim_(x -> a^**) f(x) =a^** $

Dall'ipotesi di continuità segue che $ f(a^**)=a^** $, quindi $ a^** $ è un punto fisso per $ f $.

Ne segue che $ a^** $ non può appartenere a $ F_a $ in quanto se per $ k $ valesse $ f^k(a)=a^** $ allora $ f^n(a)=a^**$ per ogni $ n >= k $ e $F_a$ avrebbe un numero finito di elementi.

Da qui si può dimostrare quello che dici se si riesce a dimostrare che ogni punto di accumulazione di $ F_a $ è anche il limite di $ a_n $ o di una sua sottosuccessione.
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Re: Punti isolati

Messaggioda Overflow94 » 11/02/2020, 22:21

Completo la dimostrazione.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Supponiamo che $ c $ sia un punto di accumulazione per $ F_a $. Allora cosideriamo gli intorni di $ c $ associati alla successione decrescente e tendente a zero di distanze $ r_n = 1 / n $ . Per definizione in ognuno di questi intorni ci sono infiniti punti di $ F_a $, quindi in ogni intorno $I_(r_k)(c) $ è possibile scegliere sempre un $ a_(m_k) $ tale per cui il suo indice sia maggiore di tutti quelli scelti precedentemente ( $ m_k > m_j <=> k > j $ ).

Abbiamo così costruito una sottosuccessione di $ a_n $ tendente a $ c $. Con un ragionamento analogo a quello fatto nel post precedente si può dimostrare che $ c $ è un punto fisso di $ f $ e perciò non può appartenere a $ F_a $. (EDIT: ragionamento non dimostrato)

$ F_a $ non contiene nessuno dei propri punti di accumulazione.


EDIT: mi son reso conto che la convergenza di una sottosuccessione non è, come pensavo a prima vista, banalmente riconducibile al caso in la successione generale converga. Quindi la dimostrazione è ancora incompleta.
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Re: Punti isolati

Messaggioda Livius » 12/02/2020, 18:58

Quello che dite, cioè che ogni punto di accumulazione è il limite della successione $a_n$ o di una sua sottosuccessione, è verissimo. Anzi ciò vale anche quando lo spazio euclideo viene sostituito da un più generale spazio metrico, infatti, se ben vi ricordate, c’è un teorema al riguardo, sui vari tipi di compattezza, tra cui anche quella per successioni, che coincidono.
Il vero problema, a mio avviso, è quando uno di quei punti di accumulazione è il limite di una sottosuccessione propria di $a_n$ . E’ vero che, anche in quel caso, il punto limite sarebbe sempre un punto fisso per $f$, innanzitutto ? Perché secondo me no.
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Re: Punti isolati

Messaggioda Livius » 12/02/2020, 19:42

Scusate, non avevo letto l'EDIT. Troppa fretta da parte mia !
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Re: Punti isolati

Messaggioda Overflow94 » 12/02/2020, 21:45

Posso chiederti in quale contesto è emerso questo problema / su quale libro hai trovato l'esercizio?
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Re: Punti isolati

Messaggioda dissonance » 13/02/2020, 00:44

è vero che i punti di Fa sono punti isolati?

Buona domanda. Non so la risposta. Un esempio facile:
\[
f(x)=x^2, \qquad x\in \mathbb R, \]
l'insieme \(F_{1/2}\) è uguale a
\[
\{2^{-2n}\, :\ n\in \mathbb N\},\]
i cui punti sono isolati ma si accumulano su \(0\). Quindi se vuoi punti isolati senza punti di accumulazione, allora la risposta è no. Ma questa è una osservazione banale. Non so se si possa costruire un esempio in cui un punto di \(F_a\) sia non isolato.
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Re: Punti isolati

Messaggioda dissonance » 13/02/2020, 00:50

Oh, mi è venuto in mente un esempio un pochino meno banale. Consideriamo la funzione \(f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2\) descritta in coordinate polari da
\[
f(r\cos \theta, r\sin \theta ):=(r\cos(\theta+1), r\sin(\theta +1)).\]
L'orbita di, per esempio, \((1, 0)\) è data da
\[
\{(\cos(n), \sin(n))\ :\ n\in\mathbb N\},\]
che è un insieme i cui punti sono tutti di accumulazione (non è immediato da dimostrare).

In conclusione, non è in generale vero che i punti di \(F_a\) sono tutti isolati.
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Re: Punti isolati

Messaggioda anto_zoolander » 13/02/2020, 13:59

La notazione è un po' strana...
Se $n$ può variare hai punti che appartengono a spazi sempre diversi, visto che $f:RR^n->RR^n$

Secondo me quell'insieme è $(f^n) ^(leftarrow) (a) $
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