Matematicamente.it

Buongiorno a tutti,
è la prima volta che scrivo qua e spero di essere nella sezione giusta.
Sto facendo un'attività di ricerca matematica che purtroppo mi ha portato in un campo a me sconosciuto, per questo sono qua a chiedere aiuto per la soluzione al problema che mi son trovato ad affrontare.
Il problema è il seguente:

f(i) = (1+3i)/N

ho bisogno di dimostrare se e quando l'equazione precedente ammette soluzioni nei naturali, dove N è una costante fissata e 0<i<N.
Nel caso l'abbia formulata correttamente dovrebbe ammettere sempre un'unica soluzione, ma come potrei dimostrarlo?

Il problema è che non si capisce cosa stai chiedendo.

Come ha detto gugo82 è meglio se riformuli in modo più chiaro la domanda.

Da quel che ho capito ti stai chiedendo se, dato $c in NN$ esistono sempre $ x,y in NN $, con $ y < c $ tali che:

$ (1 + 3y)/c=x <=> cx -3y = 1$

Un'equazione diofantea del tipo $ ax + by = c $ ammette soluzioni solo se $gcd(a, b) | c$ (il massimo comun divisore tra $ a $ e $ b $ deve dividere $ c $ ).

Applicando questo al nostro problema vediamo che ci sono soluzioni solo se $ gcd(c, 3) | 1 $. Quindi se $ c $ e $ 3 $ non sono coprimi non abbiamo soluzioni.

Prendiamo per esempio $ c = 6 $ e controllando caso per caso $ 0< y < 6 $ si vede facilmente che non ci sono soluzioni.

Si scusate non mi sono spiegato molto bene, me ne rendo conto. Il problema però è come lo avete capito. In realtà il problema è più ampio, avevo scritto solamente un caso particolare. Il problema è il seguente: cerco l'esistenza di una coppia (x,y) di naturali (dove però può essere anche compresa la coppia (0, y)) tali che rispettino la relazione:

y = (A + Bx)/N

dove 0<A<B (e in realtà si ammette anche A=0 ma mi sembra un caso banale), entrambi appartenenti ai naturali, e x<N (dove anche N è un numero intero positivo).

Mi basta trovare un N per cui valga e ho trovato un controesempio alla congettura. Io ho provato a fare un po di esempi con N=5 e sembra esista sempre una coppia (x,y). Chiedo aiuto per rispondere alla domanda di come dimostrarlo/formalizzarlo. Mi rendo conto che in parte avete già risposto a questa domanda ma non ho capito come generalizzarlo, fissato N, per ogni A e B (che rispettino la condizione sopra).