Estensione reale della funzione zeta
Inviato: 06/03/2020, 17:35Vedendo la dimostrazione che diede Eulero del fatto che $sum_{n=1}^\oo\1/n^2=pi^2/6$ mi è venuto in mente di espanderla a somme più complesse, ma al di là delle funzioni zeta.
Nella sua dimostrazione, Eulero sviluppa il prodotto infinito del seno $sin(x)/x=prod_{n=1}^\oo\(1-x^2/(n^2 pi^2))$ e confronta il coefficiente di $x^2$ così ottenuto con lo stesso coefficiente ottenuto dal seno visto come $sin(x)/x=sum_{n=0}^\oo\(-1)^n x^(2n)/((2n+1)!)$
Ottiene quindi $-1/pi^2 (1+1/4+1/9+1/16+...)=-1/(3!)$ da cui $sum_{n=1}^\oo\1/n^2=pi^2/6$
A questo punto io mi sono posto il problema di confrontare anche gli altri coefficienti. Infatti, sviluppando il prodotto termine a termine ottengo:
$sin(x)/x=(1-x^2/pi^2)(1-x^2/(4pi^2))(1-x^2/(9pi^2))(1-x^2/(16pi^2))(1-x^2/(25pi^2))...=
=(1-x^2/pi^2(1+1/4)+x^4/pi^4(1/4))(1-x^2/(9pi^2))(1-x^2/(16pi^2))(1-x^2/(25pi^2))...=
=(1-x^2/pi^2(1+1/4+1/9)+x^4/pi^4(1/4+(1+1/4)/9)-x^6/pi^6((1/4)/9))(1-x^2/(16pi^2))(1-x^2/(25pi^2))...=
=(1-x^2/pi^2(1+1/4+1/9+1/16)+x^4/pi^4(1/4+(1+1/4)/9+(1+1/4+1/9)/16)-x^6/pi^6((1/4)/9+(1/4+(1+1/4)/9)/16)+ +x^8/pi^8(((1/4)/9)/16))(1-x^2/(25pi^2))...$
Confrontando i coefficienti di $x^(2n)$ ottengo:
$1+1/4+1/9+1/16+...=pi^2/(3!)$
$1/4+(1+1/4)/9+(1+1/4+1/9)/16+...=pi^4/(5!)$
$(1/4)/9+(1/4+(1+1/4)/9)/16+...=pi^6/(7!)$
$((1/4)/9)/16+...=pi^8/(9!)$
Le serie sono sempre più complesse, man mano che aumenta il grado della x, ma seguono sempre una logica ben precisa. Per comprenderle, definiamo una successione ${a_(n,k)}_(n,k in NN)$ tale che:
$a_(n,0)=1 AAninNN$
$a_(n,k)=sum_{i=0}^\n\a_(i,k-1)/(i+k)^2 AAn,kinNN, k!=0$
La successione così definita indica i primi $n+1$ termini del coefficiente di $(-1)^kx^(2k)/pi^(2k)$
Se ne calcoliamo il limite definendolo come: $lim_(n->oo)\a_(n,k)=a_k$, allora il limite esiste ed è uguale a $pi^(2k)/((2k+1)!)$
Ho notato che con lo stesso procedimento si può calcolare il valore di altre serie, ad esempio partendo dal coseno scritto come: $cos(x)=prod_{n=1}^\oo\(1-(4x^2)/((2n-1)^2 pi^2))$ e confrontando i coefficienti con quelli del coseno scritto come: $cos(x)=sum_{n=0}^\oo\(-1)^n x^(2n)/((2n)!)$
In questo modo definiamo una seconda successione ${b_(n,k)}_(n,kinNN)$ tale che:
$b_(n,0)=1 AAninNN$
$b_(n,k)=sum_{i=0}^\n\b_(i,k-1)/(2i+2k-1)^2 AAn,kinNN,k!=0$
Questa successione indica quindi i primi $n+1$ termini del coefficiente di $(-1)^k(x^(2k)2^(2k))/pi^(2k)$
Calcoliamo il limite definendolo come: $lim_(n->oo)\b_(n,k)=b_k$ il limite esiste ed è uguale a $pi^(2k)/(2^(2k)(2k+1)!)$
Queste successioni sono strettamente legate a $zeta(2)$, in quanto l'esponente del denominatore è proprio 2. Per cui trasformiamo queste "semplici" successioni in funzioni reali:
$a_(n,k):RR->(1,+oo)$
$a_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$a_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\a_(n,k-1)/(i+k)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
$b_(n,k):RR->(1,+oo)$
$b_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$b_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\b_(i,k-1)/(2i+2k-1)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
Calcoliamo il limite: visto che entrambe le funzioni convergono per $x>1$ e divergono per $x<=1$, definiamo:
$lim_(n->oo)\a_(n,k)(x)=a_k(x)$
$a_k:(1,+oo)->(1,+oo)$
$lim_(n->oo)\b_(n,k)(x)=b_k(x)$
$b_k:(1,+oo)->(1,+oo)$
Questo è il modo più semplice che ho trovato per definire queste 2 funzioni, ma ne ho trovato uno per semplificare (anche se di poco) la scrittura esplicita di ciascuna funzione. Infatti, al crescere di k, la forma esplicita delle funzioni diventa sempre più complessa. Posso invece definire le funzioni in questa maniera:
$a_0(x)=1 AAx inRR$
$a_1(x)=zeta(x) AAx in(1,+oo)$
$a_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(a_(i,k-2)(x)*(a_1(x)-a_(i,1)(x)))/(i+k-1)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
$b_0(x)=1 AAx inRR$
$b_1(x)=(2^x-1)/2^x*zeta(x) AAx in(1,+oo)$*(vedi fondo pagina)
$b_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(b_(i,k-2)(x)*(b_1(x)-b_(i,1)(x)))/(2i+2k-3)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
Per le somme parziali bisogna utilizzare le formule viste prima, per cui questa scrittura toglie un solo livello rispetto alla scrittura originale (per k>3).
Dimostrazione:
per k>1:
$a_k(x)=(a_(0,k-1)(x))/k^x+(a_(1,k-1)(x))/(k+1)^x+(a_(2,k-1)(x))/(k+2)^x+...=((a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x)/k^x+((a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x+(a_(1,k-2)(x))/k^x)/(k+1)^x+ +((a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x+(a_(1,k-2)(x))/k^x+(a_(2,k-2)(x))/(k+1)^x)/(k+2)^x+...=(a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x(1/k^x+1/(k+1)^x+1/(k+2)^x+...)+ +(a_(1,k-2)(x))/k^x(1/(k+1)^x+1/(k+2)^x+...)+(a_(2,k-2)(x))/(k+1)^x(1/(k+2)^x+...)+...=sum_{i=0}^\oo\(a_(i,k-2)(x)*(a_1(x)-a_(i,1)(x)))/(i+k-1)^x$
Q.E.D.
Per la dimostrazione di b_k(x) si procede in maniera analoga.
Si può anche ricavare facilmente il primo termine delle serie:
$a_(0,k)(x)=1/(k!)^x$
$b_(0,k)(x)=1/((2k-1)!!)^x=((k!2^k)/((2k)!))^x$
(Se si capisce il funzionamento delle serie in questione queste affermazioni non necessitano neanche di dimostrazione)
Le successioni che abbiamo definito all'inizio non sono altro che il caso particolare in cui x=2, per cui possiamo dire che:
$a_k(2)=pi^(2k)/((2k+1)!) AAkinNN$
$b_k(2)=pi^(2k)/(2^(2k)(2k)!) AAkinNN$
A questo punto faccio un breve riassunto su quello che ho mostrato.
Date due funzioni reali $a_(n,k):RR->(1,+oo)$ e $b_(n,k):RR->(1,+oo)$ tali che:
$a_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$a_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\a_(n,k-1)/(i+k)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
$b_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$b_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\b_(i,k-1)/(2i+2k-1)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
$lim_(n->oo)\a_(n,k)(x)=a_k(x)$
$lim_(n->oo)\b_(n,k)(x)=b_k(x)$
Queste ultime due funzioni sono definite da $(1,+oo)$ in $(1,+oo)$
Ho dimostrato che:
$a_(0,k)(x)=1/(k!)^x$
$b_(0,k)(x)=1/((2k-1)!!)^x=((k!2^k)/((2k)!))^x$
$a_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(a_(i,k-2)(x)*(a_1(x)-a_(i,1)(x)))/(i+k-1)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
$b_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(b_(i,k-2)(x)*(b_1(x)-b_(i,1)(x)))/(2i+2k-3)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
$a_k(2)=pi^(2k)/((2k+1)!) AAkinNN$
$b_k(2)=pi^(2k)/(2^(2k)(2k)!) AAkinNN$
Grazie a questi ultimi 2 risultati sono riuscito a dare una mia dimostrazione (sommando e sottraendo alcuni termini di queste due funzioni) del fatto che $zeta(4)=pi^4/90$
La funzione $a_(n,1)(x)$ può essere vista come $H_(n+1)(x)$ (ove $H_n(x)=sum_{i=1}^\n\1/i^x$), di conseguenza $a_1(x)=zeta(x)$, per cui $a_1(2n)=(2^(2n-1)pi^(2n)|B_(2n)|)/((2n)!) AAninNN-{0}$ ove $B_n$ è l'ennesimo numero di Bernoulli.
Oltre a questo si può calcolare il limite quando x tende agli estremi del dominio o quando k tende all’infinito:
$lim_(x->oo)\a_(n,k)(x)=\{(1 if k=0vvk=1vvn=0),(0 if k>1^^n!=0):}$
$lim_(x->1^+)\a_k(x)=lim_(x→1^+)\b_k(x)=+oo$
$lim_(x->-oo)\a_(n,k)=\{(1 if k=0vvk=1vvn=0),(+oo if k>1^^n!=0):}$
$lim_(x->oo)\b_(n,k)=\{(1 if k=0vvn=0),(0 if k!=0^^n!=0):}$
$lim_(x->-oo)\b_(n,k)=\{(1 if k=0vvn=0),(+oo if k!=0^^n!=0):}$
$lim_(k->oo)\a_k(x)=lim_(k→oo)\b_k(x)=0AAx in(1,+oo)$
Non sono riuscito a dimostrare di più riguardo a queste funzioni, ma congetturo che $a_2(4)=pi^8/113400$
Questo valore mi lascia immaginare che esista una formula chiusa (e che c'entra con il pi greco, con il fattoriale e con i numeri di Bernoulli) per indicare il valore di $a_k(x)$ per x intero positivo pari.
*Essendo la funzione $b_(n,k)(x)$ identica alla funzione $a_(n,k)(x)$, in cui l'indicatore della serie (che chiamiamo $i$) diventa $2i-1$, il valore di $b_1(x)$ si ottiene sottraendo al valore $a_1(x)$ tutti i valori pari.
I valori pari di $a_1(x)=zeta(x)$ sono esattamente $1/2^xzeta(x)$, per cui $b_1(x)=zeta(x)-1/2^xzeta(x)=(2^x-1)/2^xzeta(x)$
Nella sua dimostrazione, Eulero sviluppa il prodotto infinito del seno $sin(x)/x=prod_{n=1}^\oo\(1-x^2/(n^2 pi^2))$ e confronta il coefficiente di $x^2$ così ottenuto con lo stesso coefficiente ottenuto dal seno visto come $sin(x)/x=sum_{n=0}^\oo\(-1)^n x^(2n)/((2n+1)!)$
Ottiene quindi $-1/pi^2 (1+1/4+1/9+1/16+...)=-1/(3!)$ da cui $sum_{n=1}^\oo\1/n^2=pi^2/6$
A questo punto io mi sono posto il problema di confrontare anche gli altri coefficienti. Infatti, sviluppando il prodotto termine a termine ottengo:
$sin(x)/x=(1-x^2/pi^2)(1-x^2/(4pi^2))(1-x^2/(9pi^2))(1-x^2/(16pi^2))(1-x^2/(25pi^2))...=
=(1-x^2/pi^2(1+1/4)+x^4/pi^4(1/4))(1-x^2/(9pi^2))(1-x^2/(16pi^2))(1-x^2/(25pi^2))...=
=(1-x^2/pi^2(1+1/4+1/9)+x^4/pi^4(1/4+(1+1/4)/9)-x^6/pi^6((1/4)/9))(1-x^2/(16pi^2))(1-x^2/(25pi^2))...=
=(1-x^2/pi^2(1+1/4+1/9+1/16)+x^4/pi^4(1/4+(1+1/4)/9+(1+1/4+1/9)/16)-x^6/pi^6((1/4)/9+(1/4+(1+1/4)/9)/16)+ +x^8/pi^8(((1/4)/9)/16))(1-x^2/(25pi^2))...$
Confrontando i coefficienti di $x^(2n)$ ottengo:
$1+1/4+1/9+1/16+...=pi^2/(3!)$
$1/4+(1+1/4)/9+(1+1/4+1/9)/16+...=pi^4/(5!)$
$(1/4)/9+(1/4+(1+1/4)/9)/16+...=pi^6/(7!)$
$((1/4)/9)/16+...=pi^8/(9!)$
Le serie sono sempre più complesse, man mano che aumenta il grado della x, ma seguono sempre una logica ben precisa. Per comprenderle, definiamo una successione ${a_(n,k)}_(n,k in NN)$ tale che:
$a_(n,0)=1 AAninNN$
$a_(n,k)=sum_{i=0}^\n\a_(i,k-1)/(i+k)^2 AAn,kinNN, k!=0$
La successione così definita indica i primi $n+1$ termini del coefficiente di $(-1)^kx^(2k)/pi^(2k)$
Se ne calcoliamo il limite definendolo come: $lim_(n->oo)\a_(n,k)=a_k$, allora il limite esiste ed è uguale a $pi^(2k)/((2k+1)!)$
Ho notato che con lo stesso procedimento si può calcolare il valore di altre serie, ad esempio partendo dal coseno scritto come: $cos(x)=prod_{n=1}^\oo\(1-(4x^2)/((2n-1)^2 pi^2))$ e confrontando i coefficienti con quelli del coseno scritto come: $cos(x)=sum_{n=0}^\oo\(-1)^n x^(2n)/((2n)!)$
In questo modo definiamo una seconda successione ${b_(n,k)}_(n,kinNN)$ tale che:
$b_(n,0)=1 AAninNN$
$b_(n,k)=sum_{i=0}^\n\b_(i,k-1)/(2i+2k-1)^2 AAn,kinNN,k!=0$
Questa successione indica quindi i primi $n+1$ termini del coefficiente di $(-1)^k(x^(2k)2^(2k))/pi^(2k)$
Calcoliamo il limite definendolo come: $lim_(n->oo)\b_(n,k)=b_k$ il limite esiste ed è uguale a $pi^(2k)/(2^(2k)(2k+1)!)$
Queste successioni sono strettamente legate a $zeta(2)$, in quanto l'esponente del denominatore è proprio 2. Per cui trasformiamo queste "semplici" successioni in funzioni reali:
$a_(n,k):RR->(1,+oo)$
$a_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$a_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\a_(n,k-1)/(i+k)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
$b_(n,k):RR->(1,+oo)$
$b_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$b_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\b_(i,k-1)/(2i+2k-1)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
Calcoliamo il limite: visto che entrambe le funzioni convergono per $x>1$ e divergono per $x<=1$, definiamo:
$lim_(n->oo)\a_(n,k)(x)=a_k(x)$
$a_k:(1,+oo)->(1,+oo)$
$lim_(n->oo)\b_(n,k)(x)=b_k(x)$
$b_k:(1,+oo)->(1,+oo)$
Questo è il modo più semplice che ho trovato per definire queste 2 funzioni, ma ne ho trovato uno per semplificare (anche se di poco) la scrittura esplicita di ciascuna funzione. Infatti, al crescere di k, la forma esplicita delle funzioni diventa sempre più complessa. Posso invece definire le funzioni in questa maniera:
$a_0(x)=1 AAx inRR$
$a_1(x)=zeta(x) AAx in(1,+oo)$
$a_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(a_(i,k-2)(x)*(a_1(x)-a_(i,1)(x)))/(i+k-1)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
$b_0(x)=1 AAx inRR$
$b_1(x)=(2^x-1)/2^x*zeta(x) AAx in(1,+oo)$*(vedi fondo pagina)
$b_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(b_(i,k-2)(x)*(b_1(x)-b_(i,1)(x)))/(2i+2k-3)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
Per le somme parziali bisogna utilizzare le formule viste prima, per cui questa scrittura toglie un solo livello rispetto alla scrittura originale (per k>3).
Dimostrazione:
per k>1:
$a_k(x)=(a_(0,k-1)(x))/k^x+(a_(1,k-1)(x))/(k+1)^x+(a_(2,k-1)(x))/(k+2)^x+...=((a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x)/k^x+((a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x+(a_(1,k-2)(x))/k^x)/(k+1)^x+ +((a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x+(a_(1,k-2)(x))/k^x+(a_(2,k-2)(x))/(k+1)^x)/(k+2)^x+...=(a_(0,k-2)(x))/(k-1)^x(1/k^x+1/(k+1)^x+1/(k+2)^x+...)+ +(a_(1,k-2)(x))/k^x(1/(k+1)^x+1/(k+2)^x+...)+(a_(2,k-2)(x))/(k+1)^x(1/(k+2)^x+...)+...=sum_{i=0}^\oo\(a_(i,k-2)(x)*(a_1(x)-a_(i,1)(x)))/(i+k-1)^x$
Q.E.D.
Per la dimostrazione di b_k(x) si procede in maniera analoga.
Si può anche ricavare facilmente il primo termine delle serie:
$a_(0,k)(x)=1/(k!)^x$
$b_(0,k)(x)=1/((2k-1)!!)^x=((k!2^k)/((2k)!))^x$
(Se si capisce il funzionamento delle serie in questione queste affermazioni non necessitano neanche di dimostrazione)
Le successioni che abbiamo definito all'inizio non sono altro che il caso particolare in cui x=2, per cui possiamo dire che:
$a_k(2)=pi^(2k)/((2k+1)!) AAkinNN$
$b_k(2)=pi^(2k)/(2^(2k)(2k)!) AAkinNN$
A questo punto faccio un breve riassunto su quello che ho mostrato.
Date due funzioni reali $a_(n,k):RR->(1,+oo)$ e $b_(n,k):RR->(1,+oo)$ tali che:
$a_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$a_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\a_(n,k-1)/(i+k)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
$b_(n,0)(x)=1 AAninNN,x inRR$
$b_(n,k)(x)=sum_{i=0}^\n\b_(i,k-1)/(2i+2k-1)^x AAn,kinNN,x inRR,k!=0$
$lim_(n->oo)\a_(n,k)(x)=a_k(x)$
$lim_(n->oo)\b_(n,k)(x)=b_k(x)$
Queste ultime due funzioni sono definite da $(1,+oo)$ in $(1,+oo)$
Ho dimostrato che:
$a_(0,k)(x)=1/(k!)^x$
$b_(0,k)(x)=1/((2k-1)!!)^x=((k!2^k)/((2k)!))^x$
$a_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(a_(i,k-2)(x)*(a_1(x)-a_(i,1)(x)))/(i+k-1)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
$b_k(x)=sum_{i=0}^\oo\(b_(i,k-2)(x)*(b_1(x)-b_(i,1)(x)))/(2i+2k-3)^x AAkinNN-{0,1},x in(1,+oo)$
$a_k(2)=pi^(2k)/((2k+1)!) AAkinNN$
$b_k(2)=pi^(2k)/(2^(2k)(2k)!) AAkinNN$
Grazie a questi ultimi 2 risultati sono riuscito a dare una mia dimostrazione (sommando e sottraendo alcuni termini di queste due funzioni) del fatto che $zeta(4)=pi^4/90$
La funzione $a_(n,1)(x)$ può essere vista come $H_(n+1)(x)$ (ove $H_n(x)=sum_{i=1}^\n\1/i^x$), di conseguenza $a_1(x)=zeta(x)$, per cui $a_1(2n)=(2^(2n-1)pi^(2n)|B_(2n)|)/((2n)!) AAninNN-{0}$ ove $B_n$ è l'ennesimo numero di Bernoulli.
Oltre a questo si può calcolare il limite quando x tende agli estremi del dominio o quando k tende all’infinito:
$lim_(x->oo)\a_(n,k)(x)=\{(1 if k=0vvk=1vvn=0),(0 if k>1^^n!=0):}$
$lim_(x->1^+)\a_k(x)=lim_(x→1^+)\b_k(x)=+oo$
$lim_(x->-oo)\a_(n,k)=\{(1 if k=0vvk=1vvn=0),(+oo if k>1^^n!=0):}$
$lim_(x->oo)\b_(n,k)=\{(1 if k=0vvn=0),(0 if k!=0^^n!=0):}$
$lim_(x->-oo)\b_(n,k)=\{(1 if k=0vvn=0),(+oo if k!=0^^n!=0):}$
$lim_(k->oo)\a_k(x)=lim_(k→oo)\b_k(x)=0AAx in(1,+oo)$
Non sono riuscito a dimostrare di più riguardo a queste funzioni, ma congetturo che $a_2(4)=pi^8/113400$
Questo valore mi lascia immaginare che esista una formula chiusa (e che c'entra con il pi greco, con il fattoriale e con i numeri di Bernoulli) per indicare il valore di $a_k(x)$ per x intero positivo pari.
*Essendo la funzione $b_(n,k)(x)$ identica alla funzione $a_(n,k)(x)$, in cui l'indicatore della serie (che chiamiamo $i$) diventa $2i-1$, il valore di $b_1(x)$ si ottiene sottraendo al valore $a_1(x)$ tutti i valori pari.
I valori pari di $a_1(x)=zeta(x)$ sono esattamente $1/2^xzeta(x)$, per cui $b_1(x)=zeta(x)-1/2^xzeta(x)=(2^x-1)/2^xzeta(x)$